बिहार बोर्ड मैट्रिक (कक्षा 10) गणित – पिछले वर्षों के हल प्रश्न पत्र

महत्वपूर्ण प्रश्नों की सीरीज: भाग – 1 (प्रश्न 1-100)

नोट: यह “हस्तलिखित नोट्स” (Handwritten Notes) प्रारूप पर आधारित विस्तृत हल हैं।

खंड-अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Type Questions)

प्रश्न 1. सह-अभाज्य संख्याओं (Co-prime numbers) का म.स. (HCF) क्या होता है?

• (A) 2
• (B) 1
• (C) 0
• (D) 3

उत्तर: (B)

हल: सह-अभाज्य संख्याओं में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है। अतः उनका HCF सदैव 1 होता है।

प्रश्न 2. यदि बहुपद p(x) = x² – 2x + 5 के शून्यक α, β हों, तो (α + β) का मान होगा:

• (A) 5
• (B) -5
• (C) 2
• (D) -2

उत्तर: (C)

हल: द्विघात बहुपद ax² + bx + c से तुलना करने पर,
a = 1, b = -2, c = 5
शून्यकों का योग (α + β) = -b/a
= -(-2)/1 = 2

प्रश्न 3. बिंदु (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी होगी:

• (A) 2√2 इकाई
• (B) 2 इकाई
• (C) 3 इकाई
• (D) 4 इकाई

उत्तर: (A)

हल: दूरी सूत्र = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]
= √[(4 – 2)² + (1 – 3)²]
= √[(2)² + (-2)²]
= √[4 + 4] = √8 = 2√2 इकाई।

प्रश्न 4. यदि tan θ = √3, तो θ का मान है:

• (A) 90°
• (B) 45°
• (C) 30°
• (D) 60°

उत्तर: (D)

हल: tan 60° का मान √3 होता है। अतः θ = 60°.

प्रश्न 5. एक अर्धवृत्त का परिमाप 36 सेमी है, तो उसकी त्रिज्या है:

• (A) 14 सेमी
• (B) 7 सेमी
• (C) 21 सेमी
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (B)

हल: अर्धवृत्त का परिमाप = πr + 2r = r(π + 2)
36 = r(22/7 + 2)
36 = r(36/7)
r = 7 सेमी।

प्रश्न 6. दो पासों (dice) को एक साथ फेंका जाता है। दोनों पर एक ही संख्या आने की प्रायिकता क्या होगी?

• (A) 1/2
• (B) 1/3
• (C) 1/6
• (D) 1/12

उत्तर: (C)

हल: कुल परिणाम = 6 × 6 = 36
अनुकूल परिणाम (दोनों समान): (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) = 6
प्रायिकता = 6/36 = 1/6.

प्रश्न 7. यदि 3, 4, 5, 17 और x का माध्य 6 है, तो x का मान है:

• (A) 1
• (B) 2
• (C) 3
• (D) 4

उत्तर: (A)

हल: माध्य = (3 + 4 + 5 + 17 + x) / 5 = 6
(29 + x) = 30
x = 30 – 29 = 1.

प्रश्न 8. द्विघात समीकरण 2x² – 4x + 3 = 0 का विवेचक (Discriminant) होगा:

• (A) -4
• (B) 0
• (C) -8
• (D) 4

उत्तर: (C)

हल: D = b² – 4ac
D = (-4)² – 4(2)(3)
D = 16 – 24 = -8.

प्रश्न 9. निम्न में से कौन अपरिमेय संख्या (Irrational Number) नहीं है?

• (A) √7
• (B) √13
• (C) √25
• (D) √31

उत्तर: (C)

हल: √25 = 5, जो कि एक परिमेय संख्या है।

प्रश्न 10. A.P. : 4, 10, 16, 22, … का सार्व अंतर (Common Difference) है:

• (A) 4
• (B) 6
• (C) 2
• (D) 8

उत्तर: (B)

हल: d = a₂ – a₁ = 10 – 4 = 6.

खंड-ब: गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (लघु एवं दीर्घ उत्तरीय)

प्रश्न 11. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिदम का प्रयोग कर 135 और 225 का म.स. (HCF) ज्ञात करें।

हल:

यहाँ 225 > 135 है।
चरण 1: 225 को 135 से भाग देने पर:
225 = 135 × 1 + 90 (शेषफल ≠ 0)
चरण 2: अब 135 को 90 से भाग देने पर:
135 = 90 × 1 + 45 (शेषफल ≠ 0)
चरण 3: अब 90 को 45 से भाग देने पर:
90 = 45 × 2 + 0 (शेषफल = 0)
चूँकि शेषफल 0 आ गया है और अंतिम भाजक 45 है।
अतः HCF (135, 225) = 45.

प्रश्न 12. सिद्ध करें कि (1 – sin θ) / (1 + sin θ) = (sec θ – tan θ)²

हल:

L.H.S. = (1 – sin θ) / (1 + sin θ)
हर का परिमेयकरण करने पर:
= [(1 – sin θ) / (1 + sin θ)] × [(1 – sin θ) / (1 – sin θ)]
= (1 – sin θ)² / (1 – sin² θ)
= (1 – sin θ)² / cos² θ (चूँकि 1 – sin² θ = cos² θ)
= [(1 – sin θ) / cos θ]²
= [ (1/cos θ) – (sin θ/cos θ) ]²
= (sec θ – tan θ)²
= R.H.S. (सिद्ध हुआ)

प्रश्न 13. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके शीर्ष (2, 3), (-1, 0) और (2, -4) हैं।

हल:

माना शीर्ष A(2, 3), B(-1, 0), C(2, -4) हैं।
यहाँ x₁=2, y₁=3; x₂=-1, y₂=0; x₃=2, y₃=-4
त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) | x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂) |
= (1/2) | 2(0 – (-4)) + (-1)(-4 – 3) + 2(3 – 0) |
= (1/2) | 2(4) – 1(-7) + 2(3) |
= (1/2) | 8 + 7 + 6 |
= (1/2) | 21 |
= 10.5 वर्ग इकाई।

प्रश्न 14. द्विघात सूत्र का प्रयोग कर समीकरण 2x² – 7x + 3 = 0 के मूल ज्ञात करें।

हल:

दिया गया समीकरण: 2x² – 7x + 3 = 0
यहाँ a = 2, b = -7, c = 3
विवेचक (D) = b² – 4ac
= (-7)² – 4(2)(3) = 49 – 24 = 25
द्विघात सूत्र से: x = [-b ± √D] / 2a
x = [-(-7) ± √25] / (2 × 2)
x = [7 ± 5] / 4
स्थिति 1 (+ लेने पर): x = (7 + 5) / 4 = 12/4 = 3
स्थिति 2 (- लेने पर): x = (7 – 5) / 4 = 2/4 = 1/2
अतः मूल 3 और 1/2 हैं।

प्रश्न 15. एक वृत्त के चतुर्थांश (Quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी परिधि 22 सेमी है।

हल:

वृत्त की परिधि = 2πr = 22
2 × (22/7) × r = 22
44/7 × r = 22
r = (22 × 7) / 44 = 3.5 सेमी
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = (1/4)πr²
= (1/4) × (22/7) × (3.5) × (3.5)
= (1/4) × 22 × 0.5 × 3.5
= 9.625 सेमी².

प्रश्न 16. सिद्ध करें कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है।
अतः, 3 + 2√5 = p/q (जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0)
2√5 = (p/q) – 3
√5 = (p – 3q) / 2q
यहाँ p, q, 3 और 2 पूर्णांक हैं, इसलिए (p – 3q) / 2q एक परिमेय संख्या होगी।
इसका अर्थ है कि √5 भी एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
परंतु, हम जानते हैं कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
अतः हमारी मान्यता गलत है।
निष्कर्ष: 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 17. सांख्यिकी: निम्न बंटन का बहुलक (Mode) ज्ञात करें।

वर्ग अंतराल	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
बारंबारता	8	12	6	15	7

हल:

यहाँ सबसे अधिक बारंबारता 15 है, जो वर्ग अंतराल 30-40 की है।
अतः बहुलक वर्ग = 30-40
l (बहुलक वर्ग की निम्न सीमा) = 30
f₁ (बहुलक वर्ग की बारंबारता) = 15
f₀ (बहुलक वर्ग से ठीक पहले की बारंबारता) = 6
f₂ (बहुलक वर्ग के ठीक बाद की बारंबारता) = 7
h (वर्ग माप) = 10
सूत्र: बहुलक = l + [(f₁ – f₀) / (2f₁ – f₀ – f₂)] × h
= 30 + [(15 – 6) / (2×15 – 6 – 7)] × 10
= 30 + [9 / (30 – 13)] × 10
= 30 + (9 / 17) × 10
= 30 + 90/17
= 30 + 5.29
= 35.29 (लगभग)

प्रश्न 18. ग्राफीय विधि से हल करें: x + y = 3 और 2x + 5y = 12

हल:

समीकरण 1: x + y = 3 ⇒ y = 3 – x
यदि x = 0, y = 3 (0, 3)
यदि x = 3, y = 0 (3, 0)
समीकरण 2: 2x + 5y = 12 ⇒ 5y = 12 – 2x
यदि x = 1, y = 2 (1, 2)
यदि x = 6, y = 0 (6, 0)
ग्राफ खींचने पर, दोनों रेखाएँ बिंदु (1, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः, x = 1 और y = 2.

प्रश्न 19. एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = 1 तो सत्यापित करें कि 2 sin A cos A = 1.

हल:

दिया है: tan A = 1
हम जानते हैं कि tan 45° = 1 होता है, अतः ∠A = 45°.
L.H.S. = 2 sin A cos A
= 2 sin 45° cos 45°
= 2 × (1/√2) × (1/√2)
= 2 × (1/2)
= 1
= R.H.S. (सत्यापित)

प्रश्न 20. एक खिलौना त्रिज्या 3.5 सेमी वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। खिलौने की कुल ऊँचाई 15.5 सेमी है। खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल:

त्रिज्या (r) = 3.5 सेमी
खिलौने की कुल ऊँचाई = 15.5 सेमी
शंकु की ऊँचाई (h) = 15.5 – 3.5 = 12 सेमी
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = √(h² + r²)
= √(12² + 3.5²) = √(144 + 12.25) = √156.25 = 12.5 सेमी
संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठ + अर्धगोले का वक्र पृष्ठ
= πrl + 2πr²
= πr(l + 2r)
= (22/7) × 3.5 × (12.5 + 2×3.5)
= 11 × (12.5 + 7)
= 11 × 19.5
= 214.5 सेमी²

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खंड-अ: अतिरिक्त वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 21-35)

प्रश्न 21. sin(90° – θ) बराबर है:

• (A) sin θ
• (B) -sin θ
• (C) cos θ
• (D) -cos θ

उत्तर: (C)

हल: यह एक मानक त्रिकोणमितीय सूत्र है। sin(90° – θ) = cos θ.

प्रश्न 22. निम्न में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती है?

• (A) 2/3
• (B) -1.5
• (C) 15%
• (D) 0.7

उत्तर: (B)

हल: प्रायिकता का मान कभी भी ऋणात्मक (negative) नहीं हो सकता और न ही 1 से बड़ा हो सकता है।

प्रश्न 23. यदि बहुपद x² – 9x + a के मूलों का गुणनफल 8 है, तो a का मान है:

• (A) 9
• (B) -9
• (C) 8
• (D) -8

उत्तर: (C)

हल: मूलों का गुणनफल = c/a (यहाँ मानक समीकरण Ax²+Bx+C से तुलना करें)।
यहाँ c = a और x² का गुणांक 1 है।
गुणनफल = a/1 = 8 ⇒ a = 8.

प्रश्न 24. AP: 2, 7, 12, … का 10वाँ पद है:

• (A) 50
• (B) 40
• (C) 47
• (D) 53

उत्तर: (C)

हल: a = 2, d = 7 – 2 = 5, n = 10
a_n = a + (n-1)d
a₁₀ = 2 + (10-1)5 = 2 + 9×5 = 2 + 45 = 47.

प्रश्न 25. बिंदु P(6, -5) का भुज (Abscissa) है:

• (A) 6
• (B) -5
• (C) -6
• (D) 5

उत्तर: (A)

हल: किसी बिंदु (x, y) में x-निर्देशांक को भुज कहते हैं। यहाँ x = 6 है।

प्रश्न 26. (sin 18°) / (cos 72°) का मान है:

• (A) 1/2
• (B) 1
• (C) √3/2
• (D) 0

उत्तर: (B)

हल: sin 18° = sin(90° – 72°) = cos 72°
अतः, cos 72° / cos 72° = 1.

प्रश्न 27. किसी वृत्त के बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ होती हैं:

• (A) असमान
• (B) समान
• (C) दोगुनी
• (D) आधी

उत्तर: (B)

हल: वृत्त के किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लम्बाई समान होती है।

प्रश्न 28. एक लंबवृत्तीय बेलन जिसकी त्रिज्या r तथा ऊँचाई h है, का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

• (A) πr²h
• (B) 2πrh
• (C) 2πr(r+h)
• (D) πrh

उत्तर: (B)

हल: बेलन का वक्र पृष्ठ = आधार की परिधि × ऊँचाई = 2πrh.

प्रश्न 29. निम्न में से कौन केंद्रीय प्रवृत्ति की माप नहीं है?

• (A) माध्य
• (B) बहुलक
• (C) माध्यक
• (D) मानक विचलन

उत्तर: (D)

हल: माध्य, माध्यक और बहुलक केंद्रीय प्रवृत्ति की माप हैं, जबकि मानक विचलन (Standard Deviation) विक्षेपण की माप है।

प्रश्न 30. निश्चित घटना की प्रायिकता होती है:

• (A) 0
• (B) 1/2
• (C) 1
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (C)

हल: निश्चित घटना (Sure event) की प्रायिकता सदैव 1 होती है।

प्रश्न 31. दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात 4 : 9 है, तो इनकी त्रिज्याओं का अनुपात होगा:

• (A) 3 : 2
• (B) 2 : 3
• (C) 4 : 9
• (D) 16 : 81

उत्तर: (B)

हल: क्षेत्रफलों का अनुपात = (r₁/r₂)² = 4/9
r₁/r₂ = √(4/9) = 2/3.

प्रश्न 32. 1 + tan² θ का मान है:

• (A) sec² θ
• (B) cosec² θ
• (C) tan² θ
• (D) cot² θ

उत्तर: (A)

हल: यह एक सर्वसमिका है: sec² θ – tan² θ = 1 ⇒ sec² θ = 1 + tan² θ.

प्रश्न 33. यदि एक खंभे की छाया की लंबाई खंभे की लंबाई के बराबर है, तो सूर्य का उन्नयन कोण है:

• (A) 30°
• (B) 60°
• (C) 45°
• (D) 90°

उत्तर: (C)

हल: tan θ = लम्ब/आधार। चूँकि लम्ब = आधार (छाया), तो tan θ = 1.
tan 45° = 1, अतः θ = 45°.

प्रश्न 34. मूल बिंदु के निर्देशांक होते हैं:

• (A) (1, 1)
• (B) (x, y)
• (C) (0, 0)
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (C)

हल: निर्देशांक ज्यामिति में मूल बिंदु (Origin) (0, 0) होता है।

प्रश्न 35. सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन सी है?

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3

उत्तर: (C)

हल: 2 सबसे छोटी और एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

खंड-ब: अतिरिक्त गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 36-50)

प्रश्न 36. सिद्ध करें कि: √[(1 + cos A) / (1 – cos A)] = cosec A + cot A

हल:

L.H.S. = √[(1 + cos A) / (1 – cos A)]
अंश और हर में √(1 + cos A) से गुणा करने पर:
= √[ (1 + cos A)² / (1 – cos A)(1 + cos A) ]
= √[ (1 + cos A)² / (1 – cos² A) ]
= √[ (1 + cos A)² / sin² A ]
= (1 + cos A) / sin A
= (1/sin A) + (cos A/sin A)
= cosec A + cot A
= R.H.S. (सिद्ध हुआ)

प्रश्न 37. एक द्विघात बहुपद ज्ञात करें जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः -3 और 2 हैं।

हल:

दिया है:
शून्यकों का योग (α + β) = -3
शून्यकों का गुणनफल (αβ) = 2
द्विघात बहुपद का सूत्र: p(x) = x² – (α + β)x + αβ
= x² – (-3)x + 2
= x² + 3x + 2
अतः, अभीष्ट बहुपद x² + 3x + 2 है।

प्रश्न 38. हल करें (प्रतिस्थापन विधि):
x + y = 14
x – y = 4

हल:

समीकरण (ii) से: x – y = 4 ⇒ x = 4 + y … (iii)
x का मान समीकरण (i) में रखने पर:
(4 + y) + y = 14
4 + 2y = 14
2y = 14 – 4 = 10
y = 10/2 = 5
अब y का मान समीकरण (iii) में रखने पर:
x = 4 + 5 = 9
अतः, x = 9 और y = 5.

प्रश्न 39. यदि बिंदु A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) और D(p, 3) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष इसी क्रम में हों, तो p का मान ज्ञात करें।

हल:

हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
अतः विकर्ण AC का मध्य बिंदु = विकर्ण BD का मध्य बिंदु
AC का मध्य बिंदु = [(6+9)/2, (1+4)/2] = [15/2, 5/2]
BD का मध्य बिंदु = [(8+p)/2, (2+3)/2] = [(8+p)/2, 5/2]
तुलना करने पर (x-निर्देशांक):
15/2 = (8+p)/2
15 = 8 + p
p = 15 – 8 = 7
अतः p = 7.

प्रश्न 40. 6 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड (Sector) का क्षेत्रफल ज्ञात करें, जिसका कोण 60° है।

हल:

दिया है: r = 6 सेमी, θ = 60°
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
= (60/360) × (22/7) × 6 × 6
= (1/6) × (22/7) × 36
= (22/7) × 6
= 132/7 सेमी²
= 18.86 सेमी² (लगभग)

प्रश्न 41. सिद्ध करें कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।

हल:

दिया है: एक वृत्त जिसका केंद्र O है। बाह्य बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं।
सिद्ध करना है: PA = PB
रचना: OA, OB और OP को मिलाया।
उपपत्ति: त्रिभुज OAP और त्रिभुज OBP में,
1. ∠OAP = ∠OBP = 90° (त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है)
2. OA = OB (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
3. OP = OP (उभयनिष्ठ भुजा)
अतः, R.H.S. सर्वांगसमता नियम से,
ΔOAP ≅ ΔOBP
CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) से,
PA = PB (सिद्ध हुआ)

प्रश्न 42. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद (i) लाल हो? (ii) लाल नहीं हो?

हल:

कुल गेंदें = 3 (लाल) + 5 (काली) = 8
(i) लाल गेंद होने की प्रायिकता (P_Red) = लाल गेंदों की संख्या / कुल गेंदें = 3/8
(ii) लाल नहीं होने की प्रायिकता (P_{Not Red}) = 1 – P_Red
= 1 – 3/8 = (8 – 3)/8 = 5/8

प्रश्न 43. मान ज्ञात करें: 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°

हल:

मान रखने पर:
tan 45° = 1, cos 30° = √3/2, sin 60° = √3/2
व्यंजक = 2(1)² + (√3/2)² – (√3/2)²
= 2(1) + 3/4 – 3/4
= 2 + 0
= 2

प्रश्न 44. समांतर श्रेणी (A.P.) 8, 3, -2, … के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात करें।

हल:

दिया है: a = 8, d = 3 – 8 = -5, n = 22
सूत्र: S_n = (n/2) [2a + (n-1)d]
S₂₂ = (22/2) [2(8) + (22-1)(-5)]
= 11 [16 + 21(-5)]
= 11 [16 – 105]
= 11 [-89]
= -979

प्रश्न 45. के (k) के किस मान के लिए निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
3x + y = 1
(2k-1)x + (k-1)y = 2k+1

हल:

समीकरणों की तुलना a₁x + b₁y + c₁ = 0 से करने पर:
a₁=3, b₁=1, c₁=-1
a₂=(2k-1), b₂=(k-1), c₂=-(2k+1)
‘कोई हल नहीं’ के लिए शर्त: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
3/(2k-1) = 1/(k-1)
तिर्यक गुणा करने पर:
3(k – 1) = 1(2k – 1)
3k – 3 = 2k – 1
3k – 2k = -1 + 3
k = 2

प्रश्न 46. एक तार वृत्त के रूप में है जिसकी त्रिज्या 42 सेमी है। इसे मोड़कर एक वर्ग बनाया जाता है। वर्ग की भुजा ज्ञात करें।

हल:

तार की लंबाई = वृत्त की परिधि = 2πr
= 2 × (22/7) × 42
= 44 × 6 = 264 सेमी
चूँकि इसी तार से वर्ग बनाया गया है, अतः वर्ग का परिमाप भी 264 सेमी होगा।
4 × भुजा = 264
भुजा = 264 / 4
भुजा = 66 सेमी

प्रश्न 47. 52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। एक ‘इक्का’ (Ace) प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात करें।

हल:

कुल पत्तों की संख्या = 52
इक्कों की कुल संख्या (हुकुम, पान, ईंट, चिड़ी) = 4
अनुकूल परिणाम = 4
प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम
= 4 / 52
= 1/13

प्रश्न 48. सिद्ध करें कि 7√5 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 7√5 एक परिमेय संख्या है।
अतः 7√5 = p/q (जहाँ p, q पूर्णांक, q ≠ 0)
√5 = p / 7q
चूँकि p, q और 7 पूर्णांक हैं, इसलिए p/7q एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि √5 भी परिमेय होनी चाहिए, जो कि असत्य है क्योंकि हम जानते हैं कि √5 अपरिमेय है।
अतः हमारी मान्यता गलत है।
7√5 एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 49. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिंदुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल:

विभाजन सूत्र: [(m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁+m₂), (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁+m₂)]
यहाँ x₁=-1, y₁=7, x₂=4, y₂=-3, m₁=2, m₂=3
x = [2(4) + 3(-1)] / (2+3) = (8 – 3) / 5 = 5/5 = 1
y = [2(-3) + 3(7)] / (2+3) = (-6 + 21) / 5 = 15/5 = 3
अतः, अभीष्ट बिंदु (1, 3) है।

प्रश्न 50. निम्न बारंबारता बंटन का माध्य (Mean) ज्ञात करें:

वर्ग अंतराल	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
बारंबारता (f)	5	8	15	16	6

हल:

वर्ग (CI)	मध्यमान (x)	बारंबारता (f)	fx
0-10	5	5	25
10-20	15	8	120
20-30	25	15	375
30-40	35	16	560
40-50	45	6	270
योग		Σf = 50	Σfx = 1350

माध्य = Σfx / Σf
= 1350 / 50
= 135 / 5
= 27

---

खंड-स: शेष वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 51-75)

प्रश्न 51. बिंदु (-4, 3) किस चतुर्थांश (Quadrant) में स्थित है?

• (A) प्रथम
• (B) द्वितीय
• (C) तृतीय
• (D) चतुर्थ

उत्तर: (B)

हल: द्वितीय चतुर्थांश में x ऋणात्मक और y धनात्मक होता है (-x, +y)।

प्रश्न 52. यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, तो उस वृत्त की त्रिज्या है:

• (A) 2 मात्रक
• (B) π मात्रक
• (C) 4 मात्रक
• (D) 7 मात्रक

उत्तर: (A)

हल: 2πr = πr² ⇒ 2 = r.

प्रश्न 53. sin 30° का मान होता है:

• (A) 1
• (B) 1/2
• (C) √3/2
• (D) 0

उत्तर: (B)

प्रश्न 54. द्विघात बहुपद x² – 3 के शून्यक होंगे:

• (A) 3, 3
• (B) -√3, +√3
• (C) -√3, -√3
• (D) -3, -3

उत्तर: (B)

हल: x² – 3 = 0 ⇒ x² = 3 ⇒ x = ±√3.

प्रश्न 55. 9 sec² A – 9 tan² A बराबर है:

• (A) 1
• (B) 9
• (C) 8
• (D) 0

उत्तर: (B)

हल: 9(sec² A – tan² A) = 9 × 1 = 9.

प्रश्न 56. दो क्रमिक सम संख्याओं का HCF क्या होता है?

• (A) 1
• (B) 2
• (C) 3
• (D) 5

उत्तर: (B)

हल: जैसे 2 और 4 का HCF 2 है।

प्रश्न 57. बिंदु (x, y) की मूल बिंदु से दूरी है:

• (A) √(x² – y²)
• (B) √(x² + y²)
• (C) x + y
• (D) x² + y²

उत्तर: (B)

प्रश्न 58. एक असंभव घटना की प्रायिकता होती है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 0.5
• (D) 1.5

उत्तर: (A)

प्रश्न 59. cot(90° – θ) बराबर है:

• (A) cosec θ
• (B) tan θ
• (C) sec θ
• (D) cos θ

उत्तर: (B)

प्रश्न 60. किसी धनात्मक पूर्णांक a और b के लिए, HCF(a, b) × LCM(a, b) बराबर होता है:

• (A) a / b
• (B) b / a
• (C) a × b
• (D) a + b

उत्तर: (C)

प्रश्न 61. रैखिक समीकरण युग्म x + 2y = 5 तथा 3x + 12y = 10 का:

• (A) एकल हल होगा
• (B) कोई हल नहीं होगा
• (C) एक से अधिक हल होंगे
• (D) अनंत हल होंगे

उत्तर: (A)

हल: a₁/a₂ = 1/3, b₁/b₂ = 2/12 = 1/6. चूँकि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, अतः अद्वितीय (एकल) हल होगा।

प्रश्न 62. निम्न में से कौन द्विघात समीकरण नहीं है?

• (A) (x + 2)³ = x(x² – 1)
• (B) (x + 1)² = 2(x – 3)
• (C) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (C)

हल: विकल्प (C) में x² + 3x + 1 = x² – 4x + 4, यहाँ x² दोनों तरफ से कट जाएगा, इसलिए यह रैखिक समीकरण बन जाएगा।

प्रश्न 63. संचयी बारंबारता वक्र कहलाती है:

• (A) तोरण
• (B) आयत चित्र
• (C) दंडालेख
• (D) बारंबारता बहुभुज

उत्तर: (A)

प्रश्न 64. cos 48° – sin 42° का मान है:

• (A) 1
• (B) 0
• (C) 2
• (D) -1

उत्तर: (B)

हल: cos 48° = cos(90°-42°) = sin 42°. अतः sin 42° – sin 42° = 0.

प्रश्न 65. यदि एक त्रिभुज के कोणों का अनुपात 2 : 3 : 4 है, तो सबसे छोटा कोण होगा:

• (A) 30°
• (B) 40°
• (C) 50°
• (D) 60°

उत्तर: (B)

हल: 2x + 3x + 4x = 180 ⇒ 9x = 180 ⇒ x = 20. सबसे छोटा कोण = 2x = 40°.

प्रश्न 66. चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग होता है:

• (A) 90°
• (B) 180°
• (C) 360°
• (D) 120°

उत्तर: (B)

प्रश्न 67. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4 : 9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है:

• (A) 2 : 3
• (B) 4 : 9
• (C) 81 : 16
• (D) 16 : 81

उत्तर: (D)

हल: क्षेत्रफल का अनुपात = (भुजा का अनुपात)² = (4/9)² = 16/81.

प्रश्न 68. यदि α और β बहुपद f(x) = x² + x + 1 के मूल हों, तो 1/α + 1/β का मान है:

• (A) 1
• (B) -1
• (C) 0
• (D) 2

उत्तर: (B)

हल: α+β = -1, αβ = 1. (1/α + 1/β) = (α+β)/αβ = -1/1 = -1.

प्रश्न 69. एक गोला का आयतन 288π सेमी³ है, तो इसकी त्रिज्या है:

• (A) 4 सेमी
• (B) 6 सेमी
• (C) 8 सेमी
• (D) 10 सेमी

उत्तर: (B)

हल: (4/3)πr³ = 288π ⇒ r³ = (288 × 3) / 4 = 216 ⇒ r = 6.

प्रश्न 70. √2 है एक:

• (A) परिमेय संख्या
• (B) अपरिमेय संख्या
• (C) प्राकृत संख्या
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (B)

प्रश्न 71. अधिकतम बारंबारता वाला वर्ग कहलाता है:

• (A) माध्यिका वर्ग
• (B) माध्य वर्ग
• (C) बहुलक वर्ग
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (C)

प्रश्न 72. 1 + cot² A / 1 + tan² A बराबर है:

• (A) sec² A
• (B) cosec² A
• (C) cot² A
• (D) tan² A

उत्तर: (C)

हल: (cosec² A) / (sec² A) = (1/sin² A) / (1/cos² A) = cos² A / sin² A = cot² A.

प्रश्न 73. यदि समांतर श्रेणी का nवाँ पद 5 – 3n हो, तो इसका सार्व अंतर है:

• (A) 3
• (B) -3
• (C) 5
• (D) 2

उत्तर: (B)

हल: a₁ = 2, a₂ = -1. d = -1 – 2 = -3.

प्रश्न 74. निम्न में से कौन cos θ के बराबर है?

• (A) √(1 – sin² θ)
• (B) √(1 + sin² θ)
• (C) (1 – sin² θ)
• (D) √(sin² θ – 1)

उत्तर: (A)

प्रश्न 75. यदि 5 cot θ = 3, तो (5 sin θ – 3 cos θ) / (4 sin θ + 3 cos θ) का मान है:

• (A) 11/18
• (B) 16/29
• (C) 14/27
• (D) 0

उत्तर: (B)

हल: cot θ = 3/5. अंश और हर में sin θ से भाग देने पर: (5 – 3 cot θ)/(4 + 3 cot θ) = (5 – 9/5)/(4 + 9/5) = (16/5)/(29/5) = 16/29.

खंड-द: शेष गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 76-100)

प्रश्न 76. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 96 और 404 का HCF और LCM ज्ञात करें।

हल:

96 = 2⁵ × 3
404 = 2² × 101
HCF = सबसे छोटी उभयनिष्ठ घात = 2² = 4
LCM = 2⁵ × 3 × 101 = 32 × 3 × 101 = 96 × 101 = 9696.

प्रश्न 77. सिद्ध करें कि: (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A.

हल:

L.H.S. = sin² A + cosec² A + 2sin A cosec A + cos² A + sec² A + 2cos A sec A
= (sin² A + cos² A) + cosec² A + sec² A + 2(1) + 2(1)
= 1 + (1 + cot² A) + (1 + tan² A) + 2 + 2
= 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + cot² A + tan² A
= 7 + tan² A + cot² A = R.H.S.

प्रश्न 78. AP: 3, 8, 13, 18, … का कौन सा पद 78 है?

हल:

a = 3, d = 5, a_n = 78
a + (n-1)d = 78
3 + (n-1)5 = 78
(n-1)5 = 75
n-1 = 15
n = 16.
अतः 16वाँ पद 78 है।

प्रश्न 79. एक समलंब चतुर्भुज ABCD जिसमें AB || DC है, के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2CD हो, तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करें।

हल:

ΔAOB और ΔCOD में,
∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)
∠OAB = ∠OCD (एकांतर कोण, क्योंकि AB || DC)
अतः ΔAOB ~ ΔCOD (AA समरूपता)
क्षेत्रफल का अनुपात = (AB/CD)²
= (2CD/CD)² = (2/1)² = 4 : 1.

प्रश्न 80. x अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात करें जो (2, -5) और (-2, 9) से समदूरस्थ है।

हल:

माना x अक्ष पर बिंदु P(x, 0) है।
PA² = PB²
(x – 2)² + (0 – (-5))² = (x – (-2))² + (0 – 9)²
x² – 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81
-4x + 29 = 4x + 85
-8x = 56
x = -7
अतः बिंदु (-7, 0) है।

प्रश्न 81. 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। केंद्र से 10 सेमी दूर स्थित एक बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए। (केवल गणना)

हल (रचना के चरण):

1. O को केंद्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचा।
2. O से 10 सेमी दूर बिंदु P लिया। OP को मिलाया।
3. OP का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो OP को M पर काटता है।
4. M को केंद्र और MO को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचा जो पहले वृत्त को T1 और T2 पर काटता है।
5. PT1 और PT2 को मिलाया। ये ही अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
स्पर्श रेखा की लम्बाई = √(10² – 6²) = √(100 – 36) = √64 = 8 सेमी।

प्रश्न 82. सिद्ध करें कि वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।

हल:

माना PQ व्यास है। व्यास के सिरे P और Q पर स्पर्श रेखाएँ AB और CD खींची गई हैं।
त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।
अतः OP ⊥ AB ⇒ ∠OPA = 90°
तथा OQ ⊥ CD ⇒ ∠OQD = 90°
चूँकि ∠OPA + ∠OQD = 180° (तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण),
या एकांतर कोण ∠APO = ∠DQO (अगर विपरीत दिशा में देखें तो भी 90=90)
अतः AB || CD.

प्रश्न 83. एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 सेमी है, इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल:

मिनट की सुई 60 मिनट में 360° घूमती है।
1 मिनट में = 360/60 = 6°
5 मिनट में कोण (θ) = 5 × 6 = 30°
क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²
= (30/360) × (22/7) × 14 × 14
= (1/12) × 22 × 2 × 14
= (1/12) × 616 = 154/3 सेमी².

प्रश्न 84. धातु के तीन ठोस गोलों, जिनकी त्रिज्याएँ 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी हैं, को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात करें।

हल:

नए गोले का आयतन = तीनों गोलों के आयतनों का योग
(4/3)πR³ = (4/3)π[r₁³ + r₂³ + r₃³]
R³ = 6³ + 8³ + 10³
R³ = 216 + 512 + 1000
R³ = 1728
R = 12 सेमी।

प्रश्न 85. निम्न आँकड़ों का माध्यक (Median) ज्ञात करें: 25, 15, 23, 40, 27, 25, 23, 42

हल:

आँकड़ों को आरोही क्रम में सजाने पर:
15, 23, 23, 25, 25, 27, 40, 42
n = 8 (सम संख्या)
माध्यक = [(n/2)वाँ पद + (n/2 + 1)वाँ पद] / 2
= [4वाँ पद + 5वाँ पद] / 2
= [25 + 25] / 2
= 25.

प्रश्न 86. द्विघात समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 में k का ऐसा मान ज्ञात करें कि उसके दो बराबर मूल हों।

हल:

बराबर मूलों के लिए, D = 0
b² – 4ac = 0
k² – 4(2)(3) = 0
k² – 24 = 0
k² = 24
k = ±√24 = ±2√6.

प्रश्न 87. भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 30 मीटर की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।

हल:

माना मीनार की ऊँचाई h है।
tan 30° = h / 30
1/√3 = h / 30
h = 30 / √3
परिमेयकरण करने पर: h = (30√3) / 3 = 10√3 मीटर।

प्रश्न 88. यदि tan(A+B) = √3 और tan(A-B) = 1/√3; जहाँ 0° < A+B ≤ 90°, A > B, तो A और B का मान ज्ञात करें।

हल:

tan(A+B) = tan 60° ⇒ A + B = 60° … (i)
tan(A-B) = tan 30° ⇒ A – B = 30° … (ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:
2A = 90° ⇒ A = 45°
A का मान (i) में रखने पर:
45° + B = 60° ⇒ B = 15°.

प्रश्न 89. 50 और 500 के बीच उन सभी पूर्णांकों का योग ज्ञात करें जो 7 से विभाज्य हैं।

हल:

AP: 56, 63, 70, …, 497
a = 56, d = 7, a_n = 497
497 = 56 + (n-1)7
441 = (n-1)7 ⇒ n-1 = 63 ⇒ n = 64
योग (S_n) = (n/2)(a + a_n)
= (64/2)(56 + 497)
= 32 × 553
= 17696.

प्रश्न 90. सिद्ध करें कि बिंदुओं (a, 0), (0, b) और (1, 1) संरेखी (Collinear) हैं यदि 1/a + 1/b = 1.

हल:

संरेखी होने के लिए त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 होना चाहिए।
x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂) = 0
a(b-1) + 0(1-0) + 1(0-b) = 0
ab – a – b = 0
ab = a + b
दोनों तरफ ab से भाग देने पर:
1 = 1/b + 1/a
1/a + 1/b = 1 (सिद्ध हुआ)

प्रश्न 91. एक भिन्न 1/3 हो जाती है जब उसके अंश में से 1 घटाया जाता है और वह 1/4 हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। भिन्न ज्ञात करें।

हल:

माना भिन्न x/y है।
स्थिति 1: (x-1)/y = 1/3 ⇒ 3x – 3 = y ⇒ 3x – y = 3 … (i)
स्थिति 2: x/(y+8) = 1/4 ⇒ 4x = y + 8 ⇒ 4x – y = 8 … (ii)
समीकरण (i) को (ii) से घटाने पर:
(4x – y) – (3x – y) = 8 – 3
x = 5
x का मान (i) में: 3(5) – y = 3 ⇒ 15 – 3 = y ⇒ y = 12
अतः भिन्न 5/12 है।

प्रश्न 92. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके शीर्ष क्रमानुसार (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) हैं।

हल:

विकर्ण d1 (AC) की लंबाई = √((-1-3)² + (4-0)²) = √(16+16) = 4√2
विकर्ण d2 (BD) की लंबाई = √((-2-4)² + (-1-5)²) = √(36+36) = 6√2
क्षेत्रफल = (1/2) × d1 × d2
= (1/2) × 4√2 × 6√2
= (1/2) × 24 × 2
= 24 वर्ग इकाई।

प्रश्न 93. सिद्ध करें: (sec θ + tan θ) (1 – sin θ) = cos θ.

हल:

L.H.S. = (1/cos θ + sin θ/cos θ) (1 – sin θ)
= [(1 + sin θ)/cos θ] × (1 – sin θ)
= (1 – sin² θ) / cos θ
= cos² θ / cos θ
= cos θ = R.H.S.

प्रश्न 94. पानी पीने वाला एक गिलास 14 सेमी ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक (Frustum) के आकार का है। दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 सेमी और 2 सेमी हैं। गिलास की धारिता (आयतन) ज्ञात करें।

हल:

h = 14 सेमी, R = 2 सेमी, r = 1 सेमी।
आयतन = (1/3)πh (R² + r² + Rr)
= (1/3) × (22/7) × 14 × (2² + 1² + 2×1)
= (1/3) × 44 × (4 + 1 + 2)
= (1/3) × 44 × 7
= 308/3 = 102.67 सेमी³.

प्रश्न 95. द्विघात बहुपद x² – 2x – 8 के शून्यक ज्ञात करें और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच करें।

हल:

x² – 4x + 2x – 8 = 0
x(x-4) + 2(x-4) = 0
(x-4)(x+2) = 0 ⇒ x = 4, -2.
जाँच: योग = 4 + (-2) = 2. सूत्र से -b/a = -(-2)/1 = 2 (सही)
गुणनफल = 4(-2) = -8. सूत्र से c/a = -8/1 = -8 (सही)।

प्रश्न 96. दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात करें।

हल:

x – y = 26 … (i)
x = 3y … (ii)
3y – y = 26 ⇒ 2y = 26 ⇒ y = 13
x = 3(13) = 39
संख्याएँ 39 और 13 हैं।

प्रश्न 97. 5 सेमी, 6 सेमी और 7 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना करें और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना करें जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की संगत भुजाओं की 7/5 गुनी हों। (सिद्धांत)

हल:

यह एक रचना का प्रश्न है।
1. आधार BC = 7 सेमी खींचें। B से 5 सेमी और C से 6 सेमी का चाप लगाकर A प्राप्त करें।
2. B से नीचे की ओर एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण BX खींचें।
3. BX पर 7 बराबर चाप लगाएँ (B1 से B7)।
4. B5 को C से मिलाएँ (क्योंकि हर 5 है)।
5. B7 से B5C के समांतर रेखा खींचें जो BC को बढ़ाए जाने पर C’ पर मिले।
6. C’ से CA के समांतर रेखा खींचें जो BA को बढ़ाए जाने पर A’ पर मिले। ΔA’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 98. यदि sec 4A = cosec(A – 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात करें।

हल:

sec 4A = cosec(90° – 4A)
अतः cosec(90° – 4A) = cosec(A – 20°)
तुलना करने पर: 90° – 4A = A – 20°
90 + 20 = A + 4A
110 = 5A
A = 110/5 = 22°.

प्रश्न 99. 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा?

हल:

कुल बल्ब = 20
खराब बल्ब = 4
P(खराब) = 4/20 = 1/5.

प्रश्न 100. सिद्ध करें कि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को जिन दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, वे बिंदु उन भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करते हैं (थेल्स प्रमेय)।

हल (कथन):

दिया है: ΔABC जिसमें DE || BC है।
सिद्ध करना है: AD/DB = AE/EC.
(यह एक मानक प्रमेय है जिसे क्षेत्रफल विधि द्वारा सिद्ध किया जाता है: ΔADE का क्षेत्रफल और ΔBDE के क्षेत्रफल का अनुपात निकालकर।)

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भाग – 1 समाप्त (प्रश्न 1-100)

बिहार बोर्ड मैट्रिक (कक्षा 10) गणित – पिछले वर्षों के हल प्रश्न पत्र

महत्वपूर्ण प्रश्नों की सीरीज: भाग – 2 (प्रश्न 101-200)

नोट: यह “हस्तलिखित नोट्स” (Handwritten Notes) प्रारूप पर आधारित विस्तृत हल हैं।

खंड-अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 101-115)

प्रश्न 101. tan 60° का मान है:

• (A) 1/√3
• (B) √3
• (C) 1
• (D) ∞

उत्तर: (B)

हल: त्रिकोणमितीय सारणी के अनुसार, tan 60° = √3 होता है।

प्रश्न 102. एक सिक्के को उछालने पर पट (Tail) आने की प्रायिकता होगी:

• (A) 1
• (B) 1/2
• (C) 2
• (D) 0

उत्तर: (B)

हल: कुल परिणाम = 2 (Head, Tail). पट आने के अनुकूल परिणाम = 1. प्रायिकता = 1/2.

प्रश्न 103. बिंदु (-5, 7) और (-1, 3) के बीच की दूरी है:

• (A) 2√2
• (B) 3√2
• (C) 4√2
• (D) 5√2

उत्तर: (C)

हल: √[(-1 – (-5))² + (3 – 7)²] = √[4² + (-4)²] = √[16 + 16] = √32 = 4√2.

प्रश्न 104. द्विघात समीकरण x² + 2x – 3 = 0 के मूलों का योग है:

• (A) -2
• (B) 2
• (C) 1/2
• (D) -1/2

उत्तर: (A)

हल: मूलों का योग = -b/a = -2/1 = -2.

प्रश्न 105. यदि एक वृत्त का व्यास 14 सेमी है, तो इसकी परिधि होगी:

• (A) 22 सेमी
• (B) 44 सेमी
• (C) 66 सेमी
• (D) 88 सेमी

उत्तर: (B)

हल: परिधि = π × व्यास = (22/7) × 14 = 22 × 2 = 44 सेमी।

प्रश्न 106. बिंदुओं (2, 4) और (0, 0) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक हैं:

• (A) (1, 2)
• (B) (2, 1)
• (C) (1, 1)
• (D) (2, 2)

उत्तर: (A)

हल: मध्य बिंदु = [(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2] = [(2+0)/2, (4+0)/2] = [1, 2].

प्रश्न 107. यदि sin A = 3/4, तो cos A का मान है:

• (A) 4/3
• (B) √3/4
• (C) √7/4
• (D) √7/3

उत्तर: (C)

हल: cos A = √(1 – sin² A) = √(1 – (3/4)²) = √(1 – 9/16) = √(7/16) = √7/4.

प्रश्न 108. निम्न में से कौन सी संख्या परिमेय है?

• (A) √3
• (B) 2√2 / √2
• (C) 4 + √5
• (D) √6

उत्तर: (B)

हल: 2√2 / √2 = 2, जो कि एक परिमेय संख्या है।

प्रश्न 109. किसी घटना E के लिए, P(E) + P(E नहीं) का मान होता है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) -1
• (D) 2

उत्तर: (B)

प्रश्न 110. 1, 3, 0, 3, 1, 3 का बहुलक है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3

उत्तर: (D)

हल: 3 सबसे अधिक बार (3 बार) आया है।

प्रश्न 111. गोले के संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल होता है:

• (A) 2πr²
• (B) 3πr²
• (C) 4πr²
• (D) πr²

उत्तर: (C)

प्रश्न 112. यदि θ = 30°, तो 2 cos 2θ का मान होगा:

• (A) 1
• (B) 2
• (C) √3
• (D) 1/2

उत्तर: (A)

हल: 2 cos(2 × 30°) = 2 cos 60° = 2 × (1/2) = 1.

प्रश्न 113. दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 3:5 है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात होगा:

• (A) 9:25
• (B) 3:5
• (C) 25:9
• (D) 9:10

उत्तर: (A)

हल: क्षेत्रफल का अनुपात = (भुजा का अनुपात)² = 3² : 5² = 9 : 25.

प्रश्न 114. किसी AP का दूसरा पद 4 और 7वाँ पद -11 है, तो सार्व अंतर होगा:

• (A) -2
• (B) -3
• (C) 3
• (D) 2

उत्तर: (B)

हल: a+d = 4, a+6d = -11. घटाने पर: 5d = -15 ⇒ d = -3.

प्रश्न 115. यदि एक अर्धवृत्त का व्यास 14 सेमी है, तो उसका क्षेत्रफल होगा:

• (A) 154 सेमी²
• (B) 77 सेमी²
• (C) 308 सेमी²
• (D) 44 सेमी²

उत्तर: (B)

हल: त्रिज्या = 7 सेमी। अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = (1/2)πr² = (1/2) × (22/7) × 7 × 7 = 11 × 7 = 77 सेमी².

खंड-ब: गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 116-130)

प्रश्न 116. सिद्ध करें कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना √3 एक परिमेय संख्या है।
अतः √3 = p/q (p, q पूर्णांक, q ≠ 0, सह-अभाज्य)
वर्ग करने पर: 3 = p² / q² ⇒ p² = 3q² … (i)
इसका अर्थ है कि p², 3 से विभाज्य है, अतः p भी 3 से विभाज्य होगा।
माना p = 3m
समीकरण (i) में रखने पर: (3m)² = 3q²
9m² = 3q² ⇒ q² = 3m²
इसका अर्थ है कि q², 3 से विभाज्य है, अतः q भी 3 से विभाज्य होगा।
इस प्रकार p और q दोनों में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 है, जो हमारी इस मान्यता का विरोध करता है कि वे सह-अभाज्य हैं।
अतः √3 एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 117. द्विघात समीकरण 6x² – x – 2 = 0 के मूल ज्ञात करें।

हल:

6x² – x – 2 = 0
गुणनखंड विधि से: हमें ऐसी संख्याएँ चाहिए जिनका गुणा -12 हो और जोड़ -1 हो। (-4, 3)
6x² – 4x + 3x – 2 = 0
2x(3x – 2) + 1(3x – 2) = 0
(3x – 2)(2x + 1) = 0
यदि 3x – 2 = 0 ⇒ x = 2/3
यदि 2x + 1 = 0 ⇒ x = -1/2
मूल: 2/3, -1/2

प्रश्न 118. यदि tan 2A = cot (A – 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात करें।

हल:

हम जानते हैं कि tan θ = cot (90° – θ)
अतः tan 2A को लिख सकते हैं: cot (90° – 2A)
cot (90° – 2A) = cot (A – 18°)
कोणों की तुलना करने पर:
90° – 2A = A – 18°
90 + 18 = A + 2A
108 = 3A
A = 108 / 3
A = 36°

प्रश्न 119. बिंदु A(2, 3) और B(4, 1) के बीच की दूरी ज्ञात करें।

हल:

x₁ = 2, y₁ = 3, x₂ = 4, y₂ = 1
दूरी = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]
= √[(4 – 2)² + (1 – 3)²]
= √[(2)² + (-2)²]
= √[4 + 4] = √8
= 2√2 इकाई

प्रश्न 120. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब (Altitude) की लंबाई ज्ञात करें।

हल:

माना ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा AB = BC = AC = 2a है।
शीर्ष A से BC पर लंब AD डाला।
समबाहु त्रिभुज में शीर्षलंब आधार को समद्विभाजित करता है, अतः BD = a.
समकोण त्रिभुज ABD में पाइथागोरस प्रमेय से:
AB² = AD² + BD²
(2a)² = AD² + a²
4a² = AD² + a²
AD² = 3a²
AD = a√3

प्रश्न 121. सिद्ध करें: (1 + tan² A) / (1 + cot² A) = tan² A

हल:

L.H.S. = sec² A / cosec² A (चूँकि 1+tan²A=sec²A और 1+cot²A=cosec²A)
= (1/cos² A) / (1/sin² A)
= (1/cos² A) × (sin² A/1)
= sin² A / cos² A
= tan² A
= R.H.S.

प्रश्न 122. उस गोले की त्रिज्या ज्ञात करें जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सेमी² है।

हल:

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr² = 154
4 × (22/7) × r² = 154
(88/7) × r² = 154
r² = (154 × 7) / 88
r² = 1078 / 88 = 12.25
r = √12.25
r = 3.5 सेमी

प्रश्न 123. निम्न बंटन का माध्य ज्ञात करें: 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3

हल:

आँकड़ों की संख्या (n) = 10
आँकड़ों का योग = 2+6+4+5+0+2+1+3+2+3 = 28
माध्य = योग / संख्या
= 28 / 10
= 2.8

प्रश्न 124. y अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात करें जो बिंदुओं A(6, 5) और B(-4, 3) से समदूरस्थ हो।

हल:

माना y-अक्ष पर बिंदु P(0, y) है।
PA = PB ⇒ PA² = PB²
(0 – 6)² + (y – 5)² = (0 – (-4))² + (y – 3)²
36 + y² – 10y + 25 = 16 + y² – 6y + 9
61 – 10y = 25 – 6y
-10y + 6y = 25 – 61
-4y = -36
y = 9
अतः बिंदु (0, 9) है।

प्रश्न 125. एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 मीटर ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात करें।

हल:

माना मीनार CD = 50m और भवन AB = h मीटर है। दोनों के बीच की दूरी BD = x मीटर है।
समकोण त्रिभुज CDB में (मीनार के साथ):
tan 60° = CD / BD = 50 / x
√3 = 50 / x ⇒ x = 50/√3 … (i)
समकोण त्रिभुज ABD में (भवन के साथ):
tan 30° = AB / BD = h / x
1/√3 = h / x ⇒ x = h√3 … (ii)
समीकरण (i) और (ii) से:
h√3 = 50/√3
3h = 50
h = 16.67 मीटर (लगभग)

प्रश्न 126. सिद्ध करें कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक (Supplementary) कोण अंतरित करती हैं।

हल:

माना ABCD एक चतुर्भुज है जो वृत्त के परिगत है।
वृत्त का केंद्र O है। स्पर्श बिंदु P, Q, R, S हैं।
हम जानते हैं कि बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं।
अतः ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, ∠5 = ∠6, ∠7 = ∠8.
सभी कोणों का योग = 360°
2(∠2 + ∠3 + ∠6 + ∠7) = 360° (विपरीत भुजाओं के कोणों का समूह)
∠AOB + ∠COD = 180°
इसी प्रकार, ∠BOC + ∠DOA = 180°.
अतः आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण बनाती हैं।

प्रश्न 127. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 सेमी और 6 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

हल:

πR² = πr₁² + πr₂²
R² = 8² + 6²
R² = 64 + 36 = 100
R = √100 = 10 सेमी।

प्रश्न 128. द्विघात समीकरण 3x² – 2√6x + 2 = 0 के मूल ज्ञात करें।

हल:

3x² – √6x – √6x + 2 = 0
√3x(√3x – √2) – √2(√3x – √2) = 0
(√3x – √2)(√3x – √2) = 0
√3x = √2
x = √2/√3 = √(2/3).
मूल: √(2/3), √(2/3)

प्रश्न 129. 52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। लाल रंग का बादशाह (King of red color) प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करें।

हल:

कुल पत्ते = 52
लाल रंग के बादशाह = 2 (पान का बादशाह और ईंट का बादशाह)
प्रायिकता = 2 / 52
= 1 / 26

प्रश्न 130. यदि cosec A = 4/3, तो cos A और tan A का मान ज्ञात करें।

हल:

यह प्रश्न तकनीकी रूप से असंभव है क्योंकि cosec A = कर्ण/लम्ब = 4/3 (यह संभव है), लेकिन sin A = 3/4 होगा।
sin A = 3/4
cos A = √(1 – (3/4)²) = √(1 – 9/16) = √7/4
tan A = sin A / cos A = (3/4) / (√7/4) = 3/√7.

---

खंड-स: अतिरिक्त वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 131-145)

प्रश्न 131. एक पासा फेंकने पर एक अभाज्य संख्या (Prime Number) आने की प्रायिकता है:

• (A) 1/2
• (B) 1/3
• (C) 1/6
• (D) 2/3

उत्तर: (A)

हल: पासे पर अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5 (कुल 3)। प्रायिकता = 3/6 = 1/2.

प्रश्न 132. sin 45° + cos 45° का मान है:

• (A) 1
• (B) √2
• (C) 2
• (D) 1/√2

उत्तर: (B)

हल: 1/√2 + 1/√2 = 2/√2 = √2.

प्रश्न 133. बिंदुओं (3, -4) और (1, 2) को मिलाने वाली रेखाखंड का मध्य बिंदु है:

• (A) (2, -1)
• (B) (2, -2)
• (C) (4, -2)
• (D) (2, 1)

उत्तर: (A)

हल: x = (3+1)/2 = 2, y = (-4+2)/2 = -1.

प्रश्न 134. यदि बहुपद p(x) = x² – 2x – 3 के शून्यक α, β हों, तो αβ का मान है:

• (A) 2
• (B) -2
• (C) -3
• (D) 3

उत्तर: (C)

हल: αβ = c/a = -3/1 = -3.

प्रश्न 135. दो वृत्तों के परिधियों का अनुपात 2:3 है, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात होगा:

• (A) 4:9
• (B) 2:3
• (C) 3:2
• (D) 1:2

उत्तर: (B)

हल: परिधि का अनुपात = त्रिज्या का अनुपात = 2:3.

प्रश्न 136. sec² θ – 1 का मान है:

• (A) cosec² θ
• (B) sin² θ
• (C) tan² θ
• (D) cot² θ

उत्तर: (C)

प्रश्न 137. यदि द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल समान हों, तो:

• (A) b² = 4ac
• (B) b² > 4ac
• (C) b² < 4ac
• (D) b² + 4ac = 0

उत्तर: (A)

प्रश्न 138. प्रथम पांच प्राकृत संख्याओं का माध्य है:

• (A) 2
• (B) 3
• (C) 4
• (D) 5

उत्तर: (B)

हल: (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3.

प्रश्न 139. रैखिक समीकरण युग्म 2x + 3y = 5 और 4x + 6y = 15 का:

• (A) अद्वितीय हल है
• (B) कोई हल नहीं है
• (C) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (B)

हल: 2/4 = 1/2, 3/6 = 1/2, लेकिन 5/15 = 1/3. (a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2), अतः कोई हल नहीं।

प्रश्न 140. बिंदु (-3, -5) किस पाद (Quadrant) में स्थित है?

• (A) प्रथम
• (B) द्वितीय
• (C) तृतीय
• (D) चतुर्थ

उत्तर: (C)

प्रश्न 141. 144 के अभाज्य गुणनखंड में 2 का घातांक है:

• (A) 3
• (B) 4
• (C) 5
• (D) 6

उत्तर: (B)

हल: 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2⁴ × 3².

प्रश्न 142. निम्नलिखित में कौन बहुपद नहीं है?

• (A) √5 x² – 3x + √2
• (B) x + 1/x
• (C) x² – 4x + 1
• (D) x³ + 1

उत्तर: (B)

हल: x + x^-1, यहाँ चर की घात ऋणात्मक है।

प्रश्न 143. मूल बिंदु से बिंदु P(-3, 4) की दूरी है:

• (A) 3
• (B) 4
• (C) 5
• (D) 7

उत्तर: (C)

हल: √((-3)² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5.

प्रश्न 144. किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती:

• (A) 0.5
• (B) 25%
• (C) 3/4
• (D) 1.5

उत्तर: (D)

प्रश्न 145. निम्न में से कौन अपरिमेय संख्या है?

• (A) √36/√64
• (B) √1/81
• (C) √3/√5
• (D) -9/√49

उत्तर: (C)

खंड-द: अतिरिक्त गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 146-160)

प्रश्न 146. सिद्ध करें कि 5 – √3 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 5 – √3 एक परिमेय संख्या है।
5 – √3 = p/q (जहाँ p, q पूर्णांक हैं)
√3 = 5 – p/q
√3 = (5q – p) / q
चूँकि p, q, 5 पूर्णांक हैं, इसलिए (5q – p) / q एक परिमेय संख्या है।
अतः √3 भी परिमेय होनी चाहिए, जो कि असत्य है।
अतः हमारी मान्यता गलत है। 5 – √3 एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 147. विलोपन विधि से हल करें: 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2

हल:

समीकरण (ii) को 2 से गुणा करने पर:
4x – 4y = 4 … (iii)
समीकरण (i) और (iii) को जोड़ने पर:
(3x + 4y) + (4x – 4y) = 10 + 4
7x = 14 ⇒ x = 2
x का मान (i) में रखने पर:
3(2) + 4y = 10
6 + 4y = 10 ⇒ 4y = 4 ⇒ y = 1
हल: x = 2, y = 1

प्रश्न 148. सिद्ध करें: (cos A / (1 + sin A)) + ((1 + sin A) / cos A) = 2 sec A

हल:

L.H.S. = [cos² A + (1 + sin A)²] / [cos A (1 + sin A)]
= [cos² A + 1 + sin² A + 2sin A] / [cos A (1 + sin A)]
= [ (cos² A + sin² A) + 1 + 2sin A ] / [cos A (1 + sin A)]
= [ 1 + 1 + 2sin A ] / [cos A (1 + sin A)]
= [ 2 + 2sin A ] / [cos A (1 + sin A)]
= [ 2(1 + sin A) ] / [cos A (1 + sin A)]
= 2 / cos A
= 2 sec A = R.H.S.

प्रश्न 149. AP: 24, 21, 18, … के कितने पद लिए जाएँ ताकि उनका योग 78 हो?

हल:

a = 24, d = 21 – 24 = -3, Sn = 78
Sn = (n/2) [2a + (n-1)d]
78 = (n/2) [2(24) + (n-1)(-3)]
156 = n [48 – 3n + 3]
156 = n [51 – 3n]
156 = 51n – 3n²
3n² – 51n + 156 = 0
3 से भाग देने पर: n² – 17n + 52 = 0
n² – 13n – 4n + 52 = 0
n(n – 13) – 4(n – 13) = 0
(n – 4)(n – 13) = 0
n = 4 या 13. (दोनों उत्तर संभव हैं क्योंकि आगे के पद ऋणात्मक होकर योग को बराबर कर देंगे)

प्रश्न 150. बिंदु (-4, 6) बिंदुओं A(-6, 10) और B(3, -8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल:

माना अनुपात k:1 है।
विभाजन सूत्र से x = (mx₂ + nx₁)/(m+n)
-4 = (k(3) + 1(-6)) / (k + 1)
-4(k + 1) = 3k – 6
-4k – 4 = 3k – 6
-4k – 3k = -6 + 4
-7k = -2
k = 2/7
अतः अनुपात 2:7 है।

प्रश्न 151. 4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना करें और फिर इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज बनाएँ जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की संगत भुजाओं की 2/3 गुनी हों।

हल:

1. BC = 6 सेमी खींचें। B से 4 सेमी और C से 5 सेमी का चाप लगाकर A प्राप्त करें।
2. B से नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती किरण खींचें।
3. किरण पर 3 बराबर चाप लगाएँ (B1, B2, B3)।
4. B3 को C से मिलाएँ।
5. B2 से B3C के समांतर रेखा खींचें जो BC को C’ पर काटे।
6. C’ से CA के समांतर रेखा खींचें जो BA को A’ पर काटे। ΔA’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 152. सिद्ध करें कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।

हल:

माना केंद्र O वाला एक वृत्त है और P पर स्पर्श रेखा AB है।
हमें सिद्ध करना है कि P पर लम्ब O से गुजरता है।
हम जानते हैं कि त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है (OP ⊥ AB)।
अतः ∠OPA = 90°.
यदि संभव हो, तो माना लम्ब O से नहीं, किसी अन्य बिंदु O’ से गुजरता है।
तो ∠O’PA = 90° होना चाहिए।
इसका मतलब ∠OPA = ∠O’PA, जो कि असंभव है जब तक कि O और O’ एक ही न हों।
अतः लम्ब केंद्र से ही होकर जाता है।

प्रश्न 153. निम्न बारंबारता बंटन का बहुलक ज्ञात करें: वर्ग 0-20 (10), 20-40 (35), 40-60 (52), 60-80 (61), 80-100 (38)।

हल:

अधिकतम बारंबारता = 61 (वर्ग 60-80)
l = 60, f1 = 61, f0 = 52, f2 = 38, h = 20
बहुलक = l + [(f1 – f0) / (2f1 – f0 – f2)] × h
= 60 + [(61 – 52) / (122 – 52 – 38)] × 20
= 60 + [9 / 32] × 20
= 60 + (9 × 5) / 8
= 60 + 45/8
= 60 + 5.625
= 65.625

प्रश्न 154. दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 सेमी³ है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल:

घन का आयतन a³ = 64 ⇒ a = 4 सेमी।
घनाभ की लंबाई (L) = 4 + 4 = 8 सेमी, चौड़ाई (B) = 4 सेमी, ऊँचाई (H) = 4 सेमी।
क्षेत्रफल = 2(LB + BH + HL)
= 2(8×4 + 4×4 + 4×8)
= 2(32 + 16 + 32)
= 2(80)
= 160 सेमी²

प्रश्न 155. एक थैले में 5 लाल, 8 सफेद और 4 हरी गोलियाँ हैं। एक गोली यादृच्छया निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात करें कि यह (i) लाल है, (ii) हरी नहीं है।

हल:

कुल गोलियाँ = 5 + 8 + 4 = 17
(i) P(लाल) = 5/17
(ii) P(हरी) = 4/17, तो P(हरी नहीं) = 1 – 4/17 = 13/17.

प्रश्न 156. द्विघात सूत्र का प्रयोग कर 2x² – 2√2x + 1 = 0 के मूल ज्ञात करें।

हल:

D = b² – 4ac = (-2√2)² – 4(2)(1) = 8 – 8 = 0
चूँकि D = 0, मूल समान होंगे।
x = -b / 2a = -(-2√2) / (2×2)
x = 2√2 / 4 = √2 / 2 = 1/√2
मूल: 1/√2, 1/√2

प्रश्न 157. एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात करें।

हल:

माना खंभे की ऊँचाई h और पहले खंभे से दूरी x है, तो दूसरे से दूरी (80-x) होगी।
tan 60° = h/x ⇒ h = x√3 … (i)
tan 30° = h/(80-x) ⇒ 1/√3 = h/(80-x) ⇒ h = (80-x)/√3 … (ii)
x√3 = (80-x)/√3
3x = 80 – x
4x = 80 ⇒ x = 20 मीटर
h = 20√3 मीटर
दूरी: 20 मी और 60 मी; ऊँचाई: 20√3 मी।

प्रश्न 158. यदि x, 3, 4 और 5 का माध्य 4 हो, तो x का मान ज्ञात करें।

हल:

(x + 3 + 4 + 5) / 4 = 4
x + 12 = 16
x = 16 – 12 = 4.

प्रश्न 159. जाँच करें कि क्या x = 1 और x = -1 समीकरण 5x² – 5x = 0 के हल हैं?

हल:

x = 1 रखने पर: 5(1)² – 5(1) = 5 – 5 = 0 (हाँ)
x = -1 रखने पर: 5(-1)² – 5(-1) = 5 + 5 = 10 ≠ 0 (नहीं)

प्रश्न 160. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत ऊँचाइयों के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। इसे सिद्ध करें।

हल:

मान लीजिए ΔABC ~ ΔPQR और शीर्षलंब AD तथा PS हैं।
चूँकि त्रिभुज समरूप हैं, ∠B = ∠Q.
ΔABD और ΔPQS में,
∠B = ∠Q और ∠ADB = ∠PSQ = 90°
अतः ΔABD ~ ΔPQS ⇒ AB/PQ = AD/PS.
हम जानते हैं कि क्षेत्रफल का अनुपात = (AB/PQ)².
अतः क्षेत्रफल का अनुपात = (AD/PS)².

---

खंड-य: शेष वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 161-180)

प्रश्न 161. sin² 22° + cos² 22° का मान होगा:

• (A) 22
• (B) 1
• (C) 0
• (D) 2

उत्तर: (B)

हल: sin² θ + cos² θ = 1 होता है, चाहे कोण कुछ भी हो।

प्रश्न 162. एक पासे को फेंकने पर 3 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता है:

• (A) 1/2
• (B) 1/3
• (C) 1/6
• (D) 2/3

उत्तर: (A)

हल: 3 से बड़ी संख्याएँ: 4, 5, 6 (कुल 3)। प्रायिकता = 3/6 = 1/2.

प्रश्न 163. त्रिभुज के केंद्रक (Centroid) के निर्देशांक होते हैं:

• (A) (x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3
• (B) (x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2
• (C) x₁+x₂+x₃, y₁+y₂+y₃
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (A)

प्रश्न 164. 3, 5, 2, 5, 7, 5, 8, 5 का बहुलक है:

• (A) 3
• (B) 2
• (C) 5
• (D) 8

उत्तर: (C)

हल: 5 सर्वाधिक 4 बार आया है।

प्रश्न 165. एपी (AP) का सामान्य पद (General Term) 3n + 5 है, तो इसका सार्व अंतर है:

• (A) 2
• (B) 3
• (C) 5
• (D) 1

उत्तर: (B)

हल: n का गुणांक ही सार्व अंतर होता है। a1 = 8, a2 = 11, d = 3.

प्रश्न 166. दो बेलनों की त्रिज्याओं का अनुपात 1:2 है और उनकी ऊँचाइयों का अनुपात 5:3 है, तो उनके आयतनों का अनुपात होगा:

• (A) 4:9
• (B) 5:12
• (C) 5:6
• (D) 12:5

उत्तर: (B)

हल: आयतन = πr²h. अनुपात = (1² × 5) / (2² × 3) = 5 / (4 × 3) = 5/12.

प्रश्न 167. tan A बराबर है:

• (A) cot(90° – A)
• (B) sec(90° – A)
• (C) cosec(90° – A)
• (D) cos(90° – A)

उत्तर: (A)

प्रश्न 168. अर्धवृत्त का कोण होता है:

• (A) 60°
• (B) 45°
• (C) 90°
• (D) 180°

उत्तर: (C)

प्रश्न 169. यदि a, b, c AP में हैं, तो b बराबर है:

• (A) (a+c)/2
• (B) a+c
• (C) a-c
• (D) ac

उत्तर: (A)

हल: समांतर माध्य b = (a+c)/2.

प्रश्न 170. 2, 10 और 20 के ल.स. (LCM) और म.स. (HCF) का अनुपात है:

• (A) 1:10
• (B) 10:1
• (C) 4:3
• (D) 11:1

उत्तर: (B)

हल: LCM(2, 10, 20) = 20. HCF(2, 10, 20) = 2. अनुपात = 20:2 = 10:1.

प्रश्न 171. मूलों का योग और गुणनफल समान होने के लिए kx² – 5x + k = 0 में k का मान क्या होना चाहिए?

उत्तर: (प्रश्न में विकल्प नहीं दिए गए हैं, हल देखें)

हल: योग = 5/k, गुणनफल = k/k = 1. 5/k = 1 ⇒ k = 5.

प्रश्न 172. बिंदु (4, -3) की मूल बिंदु से दूरी है:

• (A) 3
• (B) 4
• (C) 5
• (D) 7

उत्तर: (C)

हल: √(4² + (-3)²) = √(16+9) = 5.

प्रश्न 173. sin(18°) – cos(72°) का मान है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) -1
• (D) 1/2

उत्तर: (A)

हल: sin 18° = cos 72°, अतः अंतर 0 होगा।

प्रश्न 174. एक रैखिक समीकरण का घात होता है:

• (A) 0
• (B) 2
• (C) 1
• (D) कोई नहीं

उत्तर: (C)

प्रश्न 175. यदि P(E) = 0.05 है, तो P(E नहीं) बराबर है:

• (A) 0.5
• (B) 0.95
• (C) 0.9
• (D) 0.05

उत्तर: (B)

हल: 1 – 0.05 = 0.95.

प्रश्न 176. 1 + cot² A बराबर होता है:

• (A) sec² A
• (B) cosec² A
• (C) tan² A
• (D) sin² A

उत्तर: (B)

प्रश्न 177. दो पासों को एक साथ फेंकने पर दोनों पर समान अंक आने की प्रायिकता है:

• (A) 1/6
• (B) 1/3
• (C) 5/6
• (D) 1/2

उत्तर: (A)

प्रश्न 178. यदि 3 tan θ = 3 sin θ, तो sin² θ – cos² θ का मान है?

• (A) 1/3
• (B) 3
• (C) 0
• (D) 1

उत्तर: (C)

हल: 3 (sin/cos) = 3 sin ⇒ cos = 1 ⇒ θ=0°. sin 0 – cos 0 = 0 – 1 = -1 (विकल्प में त्रुटि हो सकती है, या θ=0). अगर cos θ = 1, तो sin θ = 0. 0 – 1 = -1.

प्रश्न 179. एक वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

• (A) 1
• (B) 2
• (C) अनंत
• (D) 3

उत्तर: (C)

हल: वृत्त पर अनंत बिंदु होते हैं, इसलिए अनंत स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं (एक बिंदु से केवल एक)।

प्रश्न 180. √2, √8, √18, √32, … का सार्व अंतर है:

• (A) √2
• (B) √3
• (C) 2
• (D) 3

उत्तर: (A)

हल: √2, 2√2, 3√2, 4√2. अंतर = √2.

खंड-र: शेष गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 181-200)

प्रश्न 181. सिद्ध करें कि (sec A – tan A)² = (1 – sin A) / (1 + sin A).

हल:

L.H.S. = (1/cos A – sin A/cos A)²
= [(1 – sin A) / cos A]²
= (1 – sin A)² / cos² A
= (1 – sin A)² / (1 – sin² A)
= [(1 – sin A)(1 – sin A)] / [(1 – sin A)(1 + sin A)]
= (1 – sin A) / (1 + sin A)
= R.H.S.

प्रश्न 182. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके शीर्ष (2, 3), (-1, 0) और (2, -4) हैं।

हल:

(यह प्रश्न संख्या 13 की पुनरावृत्ति है, अभ्यास के लिए पुनः हल करें।)
क्षेत्रफल = 1/2 |2(0 – (-4)) + (-1)(-4 – 3) + 2(3 – 0)|
= 1/2 |8 + 7 + 6| = 21/2 = 10.5 वर्ग इकाई।

प्रश्न 183. एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 मीटर है। बाग की विमाएँ ज्ञात करें।

हल:

माना चौड़ाई = x मीटर, लंबाई = x + 4 मीटर।
अर्धपरिमाप = लंबाई + चौड़ाई = 36
(x + 4) + x = 36
2x + 4 = 36
2x = 32 ⇒ x = 16
चौड़ाई = 16 मीटर, लंबाई = 20 मीटर।

प्रश्न 184. सिद्ध करें कि बिंदु (1, 5), (2, 3) और (-2, -11) संरेखी हैं।

हल:

संरेखी होने के लिए त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
क्षेत्रफल = 1/2 [1(3 – (-11)) + 2(-11 – 5) + (-2)(5 – 3)]
= 1/2 [1(14) + 2(-16) – 2(2)]
= 1/2 [14 – 32 – 4]
= 1/2 [14 – 36] = -11 ≠ 0
नोट: गणना बताती है कि ये बिंदु संरेखी नहीं हैं। प्रश्न में टाइपिंग त्रुटि हो सकती है। संरेखी सिद्ध करने के लिए क्षेत्रफल 0 आना अनिवार्य है।

प्रश्न 185. एक लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई 24 सेमी और आधार की त्रिज्या 7 सेमी है। उसका आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल:

h = 24, r = 7.
तिर्यक ऊँचाई l = √(h² + r²) = √(576 + 49) = √625 = 25 सेमी।
आयतन = (1/3)πr²h = (1/3)(22/7)(7)(7)(24) = 22 × 7 × 8 = 1232 सेमी³.
वक्र पृष्ठ = πrl = (22/7) × 7 × 25 = 550 सेमी².

प्रश्न 186. निम्न बंटन का माध्यक (Median) ज्ञात करें:

वर्ग	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
बारंबारता	4	5	13	20	8

हल:

N = 50. N/2 = 25.
संचयी बारंबारता (CF): 4, 9, 22, 42, 50.
माध्यक वर्ग: 30-40 (क्योंकि 25 इसमें आता है)।
l = 30, f = 20, F (पूर्व CF) = 22, h = 10.
Median = l + [(N/2 – F)/f] × h
= 30 + [(25 – 22)/20] × 10
= 30 + (3/20) × 10
= 30 + 1.5 = 31.5.

प्रश्न 187. 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि त्रिज्यखंड का कोण 90° है।

हल:

क्षेत्रफल = (θ/360)πr²
= (90/360) × (22/7) × 7 × 7
= (1/4) × 154 = 38.5 सेमी².

प्रश्न 188. दो संख्याओं का म.स. (HCF) 23 है और उनका ल.स. (LCM) 1449 है। यदि एक संख्या 161 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात करें।

हल:

पहली संख्या × दूसरी संख्या = HCF × LCM
161 × दूसरी संख्या = 23 × 1449
दूसरी संख्या = (23 × 1449) / 161
= 33327 / 161
= 207.

प्रश्न 189. ग्राफीय विधि से हल करें: x – y = 1 और 2x + y = 8.

हल:

x – y = 1 ⇒ (0, -1), (1, 0).
2x + y = 8 ⇒ (0, 8), (4, 0).
प्रतिच्छेद बिंदु: समीकरणों को जोड़ने पर 3x = 9 ⇒ x = 3.
3 – y = 1 ⇒ y = 2.
ग्राफ पर ये रेखाएँ (3, 2) पर मिलेंगी।

प्रश्न 190. सिद्ध करें: (tan A + sec A – 1) / (tan A – sec A + 1) = (1 + sin A) / cos A.

हल:

अंश में 1 को (sec² A – tan² A) लिखें।
(tan A + sec A – (sec² A – tan² A)) / (हर)
= [(sec A + tan A) – (sec A – tan A)(sec A + tan A)] / (हर)
= (sec A + tan A) [1 – (sec A – tan A)] / (tan A – sec A + 1)
= (sec A + tan A) [1 – sec A + tan A] / (1 – sec A + tan A)
= sec A + tan A
= 1/cos A + sin A/cos A = (1 + sin A)/cos A. (सिद्ध हुआ)

प्रश्न 191. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। (i) एक सम संख्या, (ii) 3 और 6 के बीच की संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करें।

हल:

(i) सम संख्याएँ: 2, 4, 6. P(सम) = 3/6 = 1/2.
(ii) 3 और 6 के बीच: 4, 5. P(बीच) = 2/6 = 1/3.

प्रश्न 192. एक भिन्न 9/11 हो जाती है यदि अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए। यदि दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह 5/6 हो जाती है। भिन्न ज्ञात करें।

हल:

भिन्न = x/y.
(x+2)/(y+2) = 9/11 ⇒ 11x – 9y = -4 … (i)
(x+3)/(y+3) = 5/6 ⇒ 6x – 5y = -3 … (ii)
हल करने पर: x = 7, y = 9.
भिन्न = 7/9.

प्रश्न 193. यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अंतःकोण हों, तो दिखाइए कि sin((B+C)/2) = cos(A/2).

हल:

A + B + C = 180°
B + C = 180° – A
(B + C)/2 = 90° – A/2
दोनों तरफ sin लेने पर:
sin((B+C)/2) = sin(90° – A/2)
sin((B+C)/2) = cos(A/2). (सिद्ध हुआ)

प्रश्न 194. k का मान ज्ञात करें यदि बिंदु A(2, 3), B(4, k) और C(6, -3) संरेखी हैं।

हल:

क्षेत्रफल = 0.
2(k – (-3)) + 4(-3 – 3) + 6(3 – k) = 0
2(k + 3) + 4(-6) + 18 – 6k = 0
2k + 6 – 24 + 18 – 6k = 0
-4k = 0 ⇒ k = 0.

प्रश्न 195. 6 मीटर ऊंचे एक खंभे की छाया पृथ्वी पर 2√3 मीटर लंबी है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात करें।

हल:

tan θ = लम्ब/आधार = 6 / 2√3
= 3 / √3 = √3.
tan θ = √3 ⇒ θ = 60°.

प्रश्न 196. एक घड़ी की मिनट की सुई 14 सेमी लंबी है। 10 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल:

1 मिनट = 6°, 10 मिनट = 60°.
क्षेत्रफल = (60/360) × (22/7) × 14 × 14
= (1/6) × 616 = 308/3 सेमी².

प्रश्न 197. 2x² + x – 6 = 0 के मूल ज्ञात करें।

हल:

2x² + 4x – 3x – 6 = 0
2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
(x + 2)(2x – 3) = 0
मूल: -2, 3/2.

प्रश्न 198. सिद्ध करें कि 3√2 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 3√2 परिमेय है = p/q.
√2 = p/3q.
p/3q परिमेय है, लेकिन √2 अपरिमेय है। विरोधाभास।
अतः 3√2 अपरिमेय है।

प्रश्न 199. प्रथम 1000 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात करें।

हल:

S_n = n(n+1)/2
= 1000(1001)/2
= 500 × 1001
= 500500.

प्रश्न 200. एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 264 मी² और आयतन 924 मी³ है। व्यास और ऊँचाई का अनुपात ज्ञात करें।

हल:

2πrh = 264 … (i)
πr²h = 924 … (ii)
(ii) को (i) से भाग देने पर:
r/2 = 924/264 = 3.5 ⇒ r = 7 मी।
r का मान (i) में: 2(22/7)(7)h = 264 ⇒ 44h = 264 ⇒ h = 6 मी।
व्यास = 2r = 14.
अनुपात व्यास:ऊँचाई = 14:6 = 7:3.

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भाग – 2 समाप्त (प्रश्न 101-200)

बिहार बोर्ड मैट्रिक (कक्षा 10) गणित – पिछले वर्षों के हल प्रश्न पत्र

महत्वपूर्ण प्रश्नों की सीरीज: भाग – 3 (प्रश्न 201-300)

नोट: यह “हस्तलिखित नोट्स” (Handwritten Notes) प्रारूप पर आधारित विस्तृत हल हैं।

खंड-अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 201-215)

प्रश्न 201. cos 60° + 1 / cos 60° – 1 का मान है:

• (A) -2
• (B) -3
• (C) 3
• (D) 2

उत्तर: (B)

हल: (1/2 + 1) / (1/2 – 1) = (3/2) / (-1/2) = -3.

प्रश्न 202. यदि α और β बहुपद f(x) = x² + x + 1 के मूल हों, तो 1/α + 1/β का मान है:

• (A) 1
• (B) -1
• (C) 0
• (D) 2

उत्तर: (B)

हल: α+β = -1, αβ = 1. (1/α + 1/β) = (α+β)/αβ = -1/1 = -1.

प्रश्न 203. एक द्विघात समीकरण का घात (Degree) होता है:

• (A) +2
• (B) 1
• (C) 0
• (D) -2

उत्तर: (A)

प्रश्न 204. sin(π/3) का मान है:

• (A) 1/2
• (B) √3/2
• (C) 1
• (D) 0

उत्तर: (B)

हल: π/3 = 60°, sin 60° = √3/2.

प्रश्न 205. बिंदु (4, -5) की दूरी मूल बिंदु से होगी:

• (A) √41
• (B) 3
• (C) -3
• (D) √20

उत्तर: (A)

हल: √(4² + (-5)²) = √(16 + 25) = √41.

प्रश्न 206. बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई होती है:

• (A) असमान
• (B) समान
• (C) दुगुनी
• (D) आधी

उत्तर: (B)

प्रश्न 207. एक शंकु की ऊँचाई 24 सेमी, आधार की त्रिज्या 6 सेमी है। शंकु का आयतन होगा:

• (A) 288π
• (B) 188π
• (C) 100π
• (D) 90π

उत्तर: (A)

हल: V = (1/3)πr²h = (1/3)π(6)²(24) = π × 12 × 24 = 288π.

प्रश्न 208. निश्चित घटना की प्रायिकता होती है:

• (A) 1
• (B) 0
• (C) 1/2
• (D) 1.5

उत्तर: (A)

प्रश्न 209. 1 + tan² θ का मान है:

• (A) sec² θ
• (B) cosec² θ
• (C) tan² θ
• (D) cot² θ

उत्तर: (A)

प्रश्न 210. 1/√3 किसका मान है?

• (A) sin 30°
• (B) tan 30°
• (C) cos 60°
• (D) tan 60°

उत्तर: (B)

प्रश्न 211. π एक संख्या है:

• (A) परिमेय
• (B) अपरिमेय
• (C) पूर्णांक
• (D) प्राकृत

उत्तर: (B)

प्रश्न 212. दो वृत्तों के क्षेत्रफल 4:9 के अनुपात में हैं। इनकी त्रिज्याओं का अनुपात होगा:

• (A) 3:2
• (B) 2:3
• (C) 4:9
• (D) 16:81

उत्तर: (B)

हल: √4 : √9 = 2 : 3.

प्रश्न 213. sec² θ – 1 बराबर है:

• (A) cosec² θ
• (B) sin² θ
• (C) tan² θ
• (D) cot² θ

उत्तर: (C)

प्रश्न 214. यदि E कोई घटना हो, तब P(E) + P(E’) का मान होगा:

• (A) 2
• (B) 1
• (C) -1
• (D) 0

उत्तर: (B)

प्रश्न 215. 3, 4, 7, 2, 7, 6, 7, 9 का बहुलक है:

• (A) 2
• (B) 3
• (C) 7
• (D) 9

उत्तर: (C)

हल: 7 सबसे अधिक 3 बार आया है।

खंड-ब: गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 216-230)

प्रश्न 216. सिद्ध करें कि 3 – 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 3 – 2√5 परिमेय संख्या है = a/b.
3 – a/b = 2√5
(3b – a) / b = 2√5
(3b – a) / 2b = √5
LHS एक परिमेय संख्या है (पूर्णांकों का भाग), जबकि RHS (√5) एक अपरिमेय संख्या है।
यह विरोधाभास है। अतः 3 – 2√5 अपरिमेय है।

प्रश्न 217. हल करें (प्रतिस्थापन विधि):
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4

हल:

समीकरण 2 से: 2y = 4 – 3x ⇒ y = (4 – 3x)/2 … (i)
y का मान समीकरण 1 में रखने पर:
8x + 5[(4 – 3x)/2] = 9
(16x + 20 – 15x) / 2 = 9
x + 20 = 18
x = 18 – 20 = -2
x का मान (i) में:
y = (4 – 3(-2)) / 2 = (4 + 6) / 2 = 10/2 = 5
हल: x = -2, y = 5.

प्रश्न 218. द्विघात समीकरण 2x² – 3x – 5 = 0 के मूल ज्ञात करें।

हल:

गुणनखंड विधि:
2x² – 5x + 2x – 5 = 0
x(2x – 5) + 1(2x – 5) = 0
(2x – 5)(x + 1) = 0
यदि 2x – 5 = 0 ⇒ x = 5/2
यदि x + 1 = 0 ⇒ x = -1
मूल: 5/2, -1.

प्रश्न 219. AP: 2, 7, 12, … का 10वाँ पद ज्ञात करें।

हल:

a = 2, d = 5, n = 10
a₁₀ = a + 9d
= 2 + 9(5)
= 2 + 45 = 47.

प्रश्न 220. सिद्ध करें: cosec⁴ A – cosec² A = cot⁴ A + cot² A.

हल:

L.H.S. = cosec² A (cosec² A – 1)
हम जानते हैं cosec² A – 1 = cot² A और cosec² A = 1 + cot² A
= (1 + cot² A) (cot² A)
= cot² A + cot⁴ A
= R.H.S.

प्रश्न 221. बिंदुओं (a, b) और (-a, -b) के बीच की दूरी ज्ञात करें।

हल:

D = √((-a – a)² + (-b – b)²)
= √((-2a)² + (-2b)²)
= √(4a² + 4b²)
= √4(a² + b²)
= 2√(a² + b²).

प्रश्न 222. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिंदुओं (4, -3) और (8, 5) को जोड़ने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से 3:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल:

m=3, n=1, x1=4, y1=-3, x2=8, y2=5
x = (mx2 + nx1)/(m+n) = (3(8) + 1(4))/4 = (24+4)/4 = 28/4 = 7
y = (my2 + ny1)/(m+n) = (3(5) + 1(-3))/4 = (15-3)/4 = 12/4 = 3
बिंदु: (7, 3).

प्रश्न 223. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB.CD.

हल:

ΔABC और ΔDAC में,
∠BAC = ∠ADC (दिया है)
∠C = ∠C (उभयनिष्ठ)
अतः AA समरूपता से ΔABC ~ ΔDAC.
संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
CA / CD = CB / CA
तिर्यक गुणा करने पर:
CA² = CB.CD (सिद्ध हुआ)।

प्रश्न 224. 6 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के केंद्र से 10 सेमी दूर स्थित एक बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात करें।

हल:

समकोण त्रिभुज (त्रिज्या-स्पर्श रेखा) में:
(केंद्र से दूरी)² = (त्रिज्या)² + (स्पर्श रेखा)²
10² = 6² + L²
100 = 36 + L²
L² = 64 ⇒ L = 8 सेमी।

प्रश्न 225. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 19 सेमी और 9 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।

हल:

2πR = 2πr1 + 2πr2
R = r1 + r2
R = 19 + 9 = 28 सेमी।

प्रश्न 226. एक छतरी में 8 ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं। छतरी को 45 सेमी त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल:

कुल कोण = 360°. 8 भाग हैं, तो एक भाग का कोण θ = 360/8 = 45°.
क्षेत्रफल = (θ/360)πr²
= (45/360) × (22/7) × 45 × 45
= (1/8) × (22/7) × 2025
= 22275 / 28 सेमी².

प्रश्न 227. एक ठोस अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 सेमी हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात करें।

हल:

r = 1, h = 1.
ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन
= (1/3)πr²h + (2/3)πr³
= (1/3)π(1)²(1) + (2/3)π(1)³
= π/3 + 2π/3
= 3π/3 = π सेमी³.

प्रश्न 228. निम्न बंटन का माध्य ज्ञात करें:
वर्ग: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50
बारंबारता: 3, 10, 11, 8, 3

हल:

मध्य मान (x): 5, 15, 25, 35, 45
f: 3, 10, 11, 8, 3. Σf = 35.
fx: 15, 150, 275, 280, 135.
Σfx = 15+150+275+280+135 = 855.
माध्य = 855 / 35 = 171 / 7 = 24.42 (लगभग)।

प्रश्न 229. एक बक्से में 3 नीली, 2 सफेद और 4 लाल कंचे हैं। एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात करें कि यह (i) सफेद है (ii) नीला है।

हल:

कुल = 3+2+4 = 9.
(i) P(सफेद) = 2/9.
(ii) P(नीला) = 3/9 = 1/3.

प्रश्न 230. सिद्ध करें कि √((1 + sin A)/(1 – sin A)) = sec A + tan A.

हल:

हर का परिमेयकरण:
√[(1 + sin A)(1 + sin A) / (1 – sin A)(1 + sin A)]
= √[(1 + sin A)² / (1 – sin² A)]
= (1 + sin A) / cos A
= 1/cos A + sin A/cos A
= sec A + tan A. (सिद्ध हुआ)

---

खंड-स: अतिरिक्त वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 231-245)

प्रश्न 231. निम्न में से कौन सी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?

• (A) 2/3
• (B) -15
• (C) 15%
• (D) 0.7

उत्तर: (B)

हल: प्रायिकता कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती।

प्रश्न 232. यदि tan θ = √3, तो θ का मान है:

• (A) 90°
• (B) 45°
• (C) 30°
• (D) 60°

उत्तर: (D)

प्रश्न 233. बिंदु (-4, 3) की स्थिति किस पाद में है?

• (A) प्रथम पाद
• (B) द्वितीय पाद
• (C) तृतीय पाद
• (D) चतुर्थ पाद

उत्तर: (B)

हल: x ऋणात्मक, y धनात्मक ⇒ द्वितीय पाद।

प्रश्न 234. निम्न में से कौन अपरिमेय संख्या नहीं है?

• (A) √10
• (B) √24
• (C) √35
• (D) √121

उत्तर: (D)

हल: √121 = 11, जो परिमेय है।

प्रश्न 235. बहुपद x² – 4x + 1 के मूलों का योग होगा:

• (A) 1
• (B) 4
• (C) 3
• (D) 5

उत्तर: (B)

हल: योग = -b/a = -(-4)/1 = 4.

प्रश्न 236. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4:9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है:

• (A) 2:3
• (B) 4:9
• (C) 81:16
• (D) 16:81

उत्तर: (D)

हल: क्षेत्रफल का अनुपात = भुजा के अनुपात का वर्ग = 16:81.

प्रश्न 237. किसी वृत्त के व्यास के सिरों के निर्देशांक (-2, 10) और (12, -4) हैं, तो वृत्त के केंद्र के निर्देशांक होंगे:

• (A) (5, 3)
• (B) (5, 2)
• (C) (10, 6)
• (D) (6, 3)

उत्तर: (A)

हल: मध्य बिंदु सूत्र: ( (-2+12)/2, (10-4)/2 ) = (10/2, 6/2) = (5, 3).

प्रश्न 238. यदि एक अर्धवृत्त का परिमाप 72 सेमी है, तो इसकी त्रिज्या है (π = 22/7):

• (A) 14 सेमी
• (B) 21 सेमी
• (C) 35 सेमी
• (D) 28 सेमी

उत्तर: (A)

हल: परिमाप = r(π + 2). 72 = r(22/7 + 2) ⇒ 72 = r(36/7) ⇒ r = 14.

प्रश्न 239. बिंदु (2, 3) की दूरी मूल बिन्दु से होगी:

• (A) 5
• (B) √13
• (C) 13
• (D) √5

उत्तर: (B)

हल: √(2² + 3²) = √(4+9) = √13.

प्रश्न 240. 24, 15, 22, 13, 9, 10 तथा 30 का परिसर (Range) होगा:

• (A) 22
• (B) 24
• (C) 9
• (D) 21

उत्तर: (D)

हल: परिसर = अधिकतम मान – न्यूनतम मान = 30 – 9 = 21.

प्रश्न 241. cot 60° का मान है:

• (A) 1/√3
• (B) √3
• (C) 1
• (D) 0

उत्तर: (A)

प्रश्न 242. द्विघात समीकरण x² + 2x + 4 = 0 के मूलों की प्रकृति है:

• (A) वास्तविक और समान
• (B) वास्तविक और असमान
• (C) अवास्तविक (काल्पनिक)
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (C)

हल: D = b² – 4ac = 4 – 16 = -12 (D < 0).

प्रश्न 243. बिंदुओं (-5, 7) और (-1, 3) के बीच की दूरी है:

• (A) 2√2
• (B) 3√2
• (C) 4√2
• (D) 5√2

उत्तर: (C)

प्रश्न 244. AP: 5, 8, 11, 14, … का 10वाँ पद है:

• (A) 32
• (B) 35
• (C) 38
• (D) 185

उत्तर: (A)

हल: a₁₀ = 5 + 9(3) = 5 + 27 = 32.

प्रश्न 245. दो पासों को एक साथ फेंका जाता है। दोनों पर समान संख्या पाने की प्रायिकता क्या है?

• (A) 1/3
• (B) 1/6
• (C) 5/6
• (D) 2/3

उत्तर: (B)

खंड-द: अतिरिक्त गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 246-260)

प्रश्न 246. सिद्ध करें कि 5 + √3 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 5 + √3 एक परिमेय संख्या x है।
x = 5 + √3
x – 5 = √3
चूँकि x और 5 परिमेय हैं, तो उनका अंतर (x – 5) भी परिमेय होगा।
लेकिन √3 एक अपरिमेय संख्या है।
परिमेय संख्या ≠ अपरिमेय संख्या।
अतः हमारी मान्यता गलत है। 5 + √3 एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 247. दिए गए समीकरणों को विलोपन विधि से हल करें: 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7.

हल:

समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर:
3x – 5y = 4 … (i)
9x – 2y = 7 … (ii)
समीकरण (i) को 3 से गुणा करने पर:
9x – 15y = 12 … (iii)
समीकरण (ii) को (iii) से घटाने पर:
(9x – 2y) – (9x – 15y) = 7 – 12
13y = -5 ⇒ y = -5/13.
y का मान (i) में रखने पर:
3x – 5(-5/13) = 4
3x + 25/13 = 4
3x = 4 – 25/13 = (52 – 25)/13 = 27/13
x = 9/13.
हल: x = 9/13, y = -5/13.

प्रश्न 248. सिद्ध करें: (1 + tan A)² + (1 – tan A)² = 2 sec² A.

हल:

L.H.S. = (1 + 2tan A + tan² A) + (1 – 2tan A + tan² A)
= 2 + 2tan² A
= 2(1 + tan² A)
= 2 sec² A
= R.H.S.

प्रश्न 249. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात करें।

हल:

AP: 8, 16, 24, … (15 पदों तक)
a = 8, d = 8, n = 15
S₁₅ = (15/2) [2(8) + (15-1)8]
= (15/2) [16 + 112]
= (15/2) [128]
= 15 × 64
= 960.

प्रश्न 250. y अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात करें जो बिंदुओं A(6, 5) और B(-4, 3) से समदूरस्थ हो।

हल:

माना बिंदु P(0, y) है।
PA² = PB²
(0 – 6)² + (y – 5)² = (0 – (-4))² + (y – 3)²
36 + y² – 10y + 25 = 16 + y² – 6y + 9
61 – 10y = 25 – 6y
-4y = -36
y = 9.
बिंदु: (0, 9).

प्रश्न 251. 4.2 सेमी त्रिज्या वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर 6 सेमी त्रिज्या वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात करें।

हल:

गोले का आयतन = बेलन का आयतन
(4/3)πR³ = πr²h
(4/3) × (4.2)³ = (6)² × h
(4/3) × 4.2 × 4.2 × 4.2 = 36 × h
h = (4 × 1.4 × 4.2 × 4.2) / 36
h = (5.6 × 17.64) / 36
गणना करने पर h = 2.744 सेमी।

प्रश्न 252. सिद्ध करें कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।

हल:

माना ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जो वृत्त के परिगत है।
गुणधर्म: AB + CD = AD + BC (वृत्त के परिगत चतुर्भुज के लिए)
चूँकि ABCD समांतर चतुर्भुज है, AB = CD और AD = BC.
अतः 2AB = 2AD ⇒ AB = AD.
जिस समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ बराबर हों, वह समचतुर्भुज होता है।

प्रश्न 253. अच्छी तरह से फेंटी गई 52 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। (i) एक लाल रंग का बादशाह (ii) एक हुकुम का पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करें।

हल:

(i) लाल बादशाह (पान और ईंट): 2 पत्ते। P = 2/52 = 1/26.
(ii) हुकुम के पत्ते: 13. P = 13/52 = 1/4.

प्रश्न 254. द्विघात सूत्र का प्रयोग कर समीकरण 2x² – 7x + 3 = 0 का हल निकालें।

हल:

D = b² – 4ac = 49 – 24 = 25.
x = (-b ± √D) / 2a = (7 ± 5) / 4.
x = 12/4 = 3 और x = 2/4 = 1/2.
मूल: 3, 1/2.

प्रश्न 255. 7 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टावर की ऊँचाई ज्ञात करें।

हल:

माना भवन AB = 7m, टावर CE = h. भवन से टावर की दूरी = x.
भवन के शिखर A से अवनमन कोण 45° ⇒ आधार का कोण भी 45°.
tan 45° = 7/x ⇒ 1 = 7/x ⇒ x = 7m.
टावर का ऊपरी भाग DE (A के स्तर से ऊपर).
tan 60° = DE/x ⇒ √3 = DE/7 ⇒ DE = 7√3.
टावर की कुल ऊँचाई = 7 + 7√3 = 7(1 + √3) मीटर।

प्रश्न 256. निम्न आँकड़ों का माध्यक (Median) ज्ञात करें: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.

हल:

n = 8 (सम संख्या)।
माध्यक = (4वाँ पद + 5वाँ पद) / 2
= (7 + 9) / 2 = 16 / 2 = 8.

प्रश्न 257. x और y में एक संबंध स्थापित करें यदि बिंदु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेखी हों।

हल:

क्षेत्रफल = 0
x(2 – 0) + 1(0 – y) + 7(y – 2) = 0
2x – y + 7y – 14 = 0
2x + 6y – 14 = 0
x + 3y – 7 = 0.

प्रश्न 258. एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 सेमी है, इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल:

कोण = 30°.
क्षेत्रफल = (30/360) × (22/7) × 14 × 14
= 154/3 सेमी².

प्रश्न 259. यदि sin 3A = cos (A – 26°), जहाँ 3A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात करें।

हल:

sin 3A = cos (90° – 3A)
cos (90° – 3A) = cos (A – 26°)
90 – 3A = A – 26
116 = 4A ⇒ A = 29°.

प्रश्न 260. सिद्ध करें कि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।

हल:

दिया है: केंद्र O वाला वृत्त और स्पर्श रेखा XY जो P पर स्पर्श करती है।
रचना: XY पर P के अतिरिक्त एक बिंदु Q लें। OQ को मिलाएँ।
उपपत्ति: Q वृत्त के बाहर होगा (अन्यथा XY छेदक रेखा होगी)।
अतः OQ > त्रिज्या OP.
यह XY पर स्थित P के अतिरिक्त हर बिंदु के लिए सत्य है।
अतः OP बिंदु O से XY की न्यूनतम दूरी है।
गणित में न्यूनतम दूरी ही लम्बवत दूरी होती है।
अतः OP ⊥ XY. (सिद्ध हुआ)

---

खंड-य: शेष वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 261-280)

प्रश्न 261. tan 60° / cot 30° का मान है:

• (A) 1
• (B) -1
• (C) 0
• (D) 2

उत्तर: (A)

हल: √3 / √3 = 1.

प्रश्न 262. एक पासे को फेंकने पर 7 आने की प्रायिकता है:

• (A) 1/6
• (B) 1
• (C) 0
• (D) 7/6

उत्तर: (C)

हल: पासे पर 7 नहीं होता। यह असंभव घटना है।

प्रश्न 263. निम्न में से कौन मूल बिंदु के निर्देशांक हैं?

• (A) (1, 1)
• (B) (0, 0)
• (C) (0, 1)
• (D) (1, 0)

उत्तर: (B)

प्रश्न 264. sin² 63° + sin² 27° का मान है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3

उत्तर: (B)

हल: sin² 63° + cos² (90-27) = sin² 63 + cos² 63 = 1.

प्रश्न 265. द्विघात बहुपद x² + 7x + 10 के शून्यक हैं:

• (A) -2, -5
• (B) 2, 5
• (C) 2, -5
• (D) -2, 5

उत्तर: (A)

हल: x² + 5x + 2x + 10 = 0 ⇒ (x+5)(x+2) = 0.

प्रश्न 266. यदि दो बिंदुओं P(1, -2) और Q(-3, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु (x, y) है, तो:

• (A) x = -1, y = 1
• (B) x = -2, y = 2
• (C) x = 0, y = 0
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (A)

हल: x = (1-3)/2 = -1, y = (-2+4)/2 = 1.

प्रश्न 267. एक गोले का व्यास 14 सेमी है, तो उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा:

• (A) 616 सेमी²
• (B) 154 सेमी²
• (C) 308 सेमी²
• (D) 462 सेमी²

उत्तर: (A)

हल: r = 7. क्षेत्रफल = 4πr² = 4(22/7)(49) = 88 × 7 = 616.

प्रश्न 268. वर्ग अंतराल 10-20 का वर्ग चिह्न (Class Mark) है:

• (A) 10
• (B) 20
• (C) 30
• (D) 15

उत्तर: (D)

हल: (10 + 20) / 2 = 15.

प्रश्न 269. यदि दो रैखिक समीकरणों के आलेख समांतर रेखाएँ हों, तो हलों की संख्या होगी:

• (A) शून्य
• (B) एक
• (C) अनगिनत
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (A)

हल: समांतर रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं, इसलिए कोई हल नहीं।

प्रश्न 270. sec 0° का मान है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) ∞
• (D) -1

उत्तर: (B)

प्रश्न 271. एक घन का विकर्ण √12 सेमी है, तो उसकी भुजा की लंबाई होगी:

• (A) 2 सेमी
• (B) √3 सेमी
• (C) 3 सेमी
• (D) 4 सेमी

उत्तर: (A)

हल: भुजा√3 = √12 = 2√3 ⇒ भुजा = 2.

प्रश्न 272. चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग होता है:

• (A) 90°
• (B) 180°
• (C) 360°
• (D) 120°

उत्तर: (B)

प्रश्न 273. प्रथम n प्राकृत संख्याओं का माध्य है:

• (A) n
• (B) n/2
• (C) (n+1)/2
• (D) (n-1)/2

उत्तर: (C)

हल: योग = n(n+1)/2. माध्य = योग/n = (n+1)/2.

प्रश्न 274. वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

• (A) 1
• (B) 2
• (C) 3
• (D) अनंत

उत्तर: (B)

प्रश्न 275. sin 90° का मान है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 1/2
• (D) √3/2

उत्तर: (B)

प्रश्न 276. माध्य, माध्यक और बहुलक में संबंध है:

• (A) बहुलक = 3(माध्यक) – 2(माध्य)
• (B) बहुलक = माध्य – माध्यक
• (C) बहुलक = 2(माध्यक) – 3(माध्य)
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (A)

प्रश्न 277. 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल है:

• (A) 77/2 सेमी²
• (B) 77 सेमी²
• (C) 154 सेमी²
• (D) 77/4 सेमी²

उत्तर: (A)

हल: (1/4)πr² = (1/4)(22/7)(49) = 77/2.

प्रश्न 278. द्विघात समीकरण x² – 9 = 0 के मूल हैं:

• (A) 3, 3
• (B) -3, -3
• (C) 3, -3
• (D) 9, -9

उत्तर: (C)

प्रश्न 279. एक असंभव घटना की प्रायिकता होती है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 0.5
• (D) -1

उत्तर: (A)

प्रश्न 280. सह-अभाज्य संख्याओं का म.स. (HCF) होता है:

• (A) 1
• (B) 0
• (C) 2
• (D) गुणनफल के बराबर

उत्तर: (A)

खंड-र: शेष गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 281-300)

प्रश्न 281. सिद्ध करें कि 1 / √2 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 1/√2 एक परिमेय संख्या है।
अतः 1/√2 = p/q (q ≠ 0)
पलटने पर √2 = q/p.
चूँकि p और q पूर्णांक हैं, q/p एक परिमेय संख्या है।
अतः √2 भी परिमेय होनी चाहिए, जो कि असत्य है।
अतः 1/√2 अपरिमेय है।

प्रश्न 282. समीकरण निकाय को हल करें: x + y = 5 और 2x – 3y = 4.

हल:

x = 5 – y … (i)
2(5 – y) – 3y = 4
10 – 2y – 3y = 4
-5y = 4 – 10 = -6
y = 6/5.
x = 5 – 6/5 = 19/5.
हल: x = 19/5, y = 6/5.

प्रश्न 283. मान ज्ञात करें: (2 tan 30°) / (1 + tan² 30°).

हल:

tan 30° = 1/√3.
अंश = 2(1/√3) = 2/√3.
हर = 1 + (1/√3)² = 1 + 1/3 = 4/3.
व्यंजक = (2/√3) / (4/3) = (2/√3) × (3/4)
= 3 / (2√3) = √3/2.

प्रश्न 284. AP: 1, 4, 7, 10, … के 20 पदों का योग ज्ञात करें।

हल:

a = 1, d = 3, n = 20.
S₂₀ = (20/2) [2(1) + 19(3)]
= 10 [2 + 57]
= 10 [59] = 590.

प्रश्न 285. बिंदुओं A(-2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें।

हल:

मध्य बिंदु (Q) = (0, 5).
AQ का मध्य बिंदु (P) = (-1, 3.5).
QB का मध्य बिंदु (R) = (1, 6.5).
बिंदु: (-1, 7/2), (0, 5), (1, 13/2).

प्रश्न 286. दो समरूप त्रिभुजों ABC और PQR के क्षेत्रफल क्रमशः 64 सेमी² और 121 सेमी² हैं। यदि EF = 15.4 सेमी हो, तो BC ज्ञात करें। (यदि EF संगत भुजा हो)

हल:

माना संगत भुजाएँ BC और EF हैं।
Ar(ABC)/Ar(PQR) = (BC/EF)²
64/121 = (BC/15.4)²
8/11 = BC/15.4
BC = (8 × 15.4) / 11
BC = 8 × 1.4 = 11.2 सेमी।

प्रश्न 287. 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों। (केवल गणना)

हल:

स्पर्श रेखाओं के बीच कोण 60° है, तो केंद्र पर बना कोण 180° – 60° = 120° होगा।
रचना के लिए, केंद्र पर 120° का कोण बनाती दो त्रिज्याएँ खींचें और उनके सिरों पर लम्ब (स्पर्श रेखाएँ) खींचें।

प्रश्न 288. एक ताश की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। उसके (i) तस्वीर वाला पत्ता (Face card), (ii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात करें।

हल:

(i) Face cards (J, Q, K) = 4 × 3 = 12. P = 12/52 = 3/13.
(ii) Red face cards = 6. P = 6/52 = 3/26.

प्रश्न 289. 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी त्रिज्या वाले तीन धातु के गोलों को पिघलाकर एक बड़ा गोला बनाया जाता है। बड़े गोले की त्रिज्या ज्ञात करें।

हल:

R³ = 3³ + 4³ + 5³
R³ = 27 + 64 + 125 = 216
R = 6 सेमी।

प्रश्न 290. एक मीनार की छाया उसकी ऊँचाई की √3 गुनी है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात करें।

हल:

छाया = h√3, ऊँचाई = h.
tan θ = h / (h√3) = 1/√3.
θ = 30°.

प्रश्न 291. निम्न बंटन का माध्य ज्ञात करें: x: 2, 4, 6, 8; f: 3, 5, 7, 5.

हल:

fx: 6, 20, 42, 40.
Σfx = 108. Σf = 20.
माध्य = 108 / 20 = 5.4.

प्रश्न 292. x² + 4x + 5 = 0 के मूल ज्ञात करें।

हल:

D = 16 – 20 = -4.
D ऋणात्मक है, अतः वास्तविक मूल नहीं होंगे। (काल्पनिक मूल: -2 ± i).

प्रश्न 293. सिद्ध करें: (1 – tan A)/(1 – cot A) = -tan A (होल स्क्वायर नहीं)। यदि प्रश्न ( (1-tanA)/(1-cotA) )² हो, तो:

हल:

माना व्यंजक का वर्ग है:
[(1 – sin/cos) / (1 – cos/sin)]²
= [ ((cos-sin)/cos) / ((sin-cos)/sin) ]²
= [ (-sin(cos-sin)) / (cos(cos-sin)) ]²
= (-tan A)² = tan² A.

प्रश्न 294. एक बाल्टी शंकु के छिन्नक के आकार की है। ऊँचाई 16 सेमी, और सिरों की त्रिज्याएँ 20 सेमी और 8 सेमी हैं। बाल्टी का आयतन ज्ञात करें।

हल:

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr)
= (1/3)(22/7)(16) (400 + 64 + 160)
= (1/3)(22/7)(16) (624)
= (22 × 16 × 208) / 7
= 73216 / 7 = 10459.43 सेमी³.

प्रश्न 295. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके शीर्ष (1, -1), (-4, 6) और (-3, -5) हैं।

हल:

क्षेत्रफल = 1/2 |1(6 – (-5)) + (-4)(-5 – (-1)) + (-3)(-1 – 6)|
= 1/2 |1(11) – 4(-4) – 3(-7)|
= 1/2 |11 + 16 + 21|
= 1/2 |48| = 24 वर्ग इकाई।

प्रश्न 296. एक भिन्न के अंश में 1 जोड़ने पर वह 1 हो जाती है और हर में 1 घटाने पर वह 1/2 हो जाती है। भिन्न क्या है?

हल:

(x+1)/y = 1 ⇒ x – y = -1 … (i)
x/(y-1) = 1/2 ⇒ 2x – y = -1 … (ii) (प्रश्न में त्रुटि संभव है, मानक प्रश्न में 2x – y = 1 होता है, चलिए हल करते हैं)
घटाने पर: -x = 0 ⇒ x=0 (असंभव भिन्न)।
*मानक प्रश्न सुधार:* हर में 1 जोड़ने पर 1/2.
x/(y+1) = 1/2 ⇒ 2x – y = 1.
अब हल करें: (2x-y) – (x-y) = 1 – (-1) ⇒ x = 2.
2 – y = -1 ⇒ y = 3.
भिन्न = 2/3.

प्रश्न 297. सिद्ध करें कि स्पर्श रेखा और स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या के बीच का कोण 90° होता है।

हल:

(यह प्रश्न 260 की पुनरावृत्ति है, जो एक महत्वपूर्ण प्रमेय है।)

प्रश्न 298. यदि 3, 4, 5, x का माध्य 4 है, तो x का मान?

हल:

(12 + x)/4 = 4 ⇒ 12 + x = 16 ⇒ x = 4.

प्रश्न 299. आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 मीटर है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात करें।

हल:

टूटा भाग (कर्ण) = y, खड़ा भाग (लम्ब) = x.
tan 30° = x/8 ⇒ x = 8/√3.
cos 30° = 8/y ⇒ √3/2 = 8/y ⇒ y = 16/√3.
कुल ऊँचाई = x + y = 24/√3 = 8√3 मीटर।

प्रश्न 300. अभाज्य गुणनखंड विधि से 6, 72 और 120 का HCF और LCM ज्ञात करें।

हल:

6 = 2 × 3
72 = 2³ × 3²
120 = 2³ × 3 × 5
HCF = 2 × 3 = 6.
LCM = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360.

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भाग – 3 समाप्त (प्रश्न 201-300)

बिहार बोर्ड मैट्रिक (कक्षा 10) गणित – पिछले वर्षों के हल प्रश्न पत्र

महत्वपूर्ण प्रश्नों की सीरीज: भाग – 4 (प्रश्न 301-400)

नोट: यह “हस्तलिखित नोट्स” (Handwritten Notes) प्रारूप पर आधारित विस्तृत हल हैं।

खंड-अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 301-315)

प्रश्न 301. sec(90° – A) किसके बराबर है?

• (A) cosec A
• (B) sin A
• (C) cot A
• (D) cos A

उत्तर: (A)

हल: यह एक पूरक कोण सूत्र है: sec(90° – θ) = cosec θ.

प्रश्न 302. यदि बहुपद p(x) = x² – 2x + 5 के शून्यक a, b हों, तो ab का मान होगा:

• (A) 5
• (B) -5
• (C) 2
• (D) -2

उत्तर: (A)

हल: शून्यकों का गुणनफल (ab) = c/a = 5/1 = 5.

प्रश्न 303. दो पासों को एक साथ फेंका जाता है। दोनों पर समान संख्या आने की प्रायिकता क्या होगी?

• (A) 1/3
• (B) 1/6
• (C) 5/6
• (D) 2/3

उत्तर: (B)

हल: अनुकूल परिणाम: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) = 6. कुल = 36. P = 6/36 = 1/6.

प्रश्न 304. यदि 5, 4, 3, 2, x, 7 का माध्य 5 है, तो x का मान है:

• (A) 9
• (B) 6
• (C) 5
• (D) 4

उत्तर: (A)

हल: योग = 21 + x. संख्या = 6. (21+x)/6 = 5 ⇒ 21+x = 30 ⇒ x = 9.

प्रश्न 305. बिंदु (2, 3) और (-2, 3) के बीच की दूरी है:

• (A) 3
• (B) 4
• (C) 5
• (D) 6

उत्तर: (B)

हल: √((-2-2)² + (3-3)²) = √((-4)² + 0) = √16 = 4.

प्रश्न 306. यदि किसी वृत्त की त्रिज्या दुगुनी कर दी जाए, तो पुराने और नए वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात होगा:

• (A) 1:2
• (B) 1:4
• (C) 4:1
• (D) 2:1

उत्तर: (B)

हल: r₁ = r, r₂ = 2r. अनुपात = πr² : π(2r)² = 1 : 4.

प्रश्न 307. 44 मीटर परिधि वाले वृत्त की त्रिज्या होगी:

• (A) 14 मी
• (B) 7 मी
• (C) 5 मी
• (D) 44 मी

उत्तर: (B)

हल: 2πr = 44 ⇒ 2(22/7)r = 44 ⇒ 44r/7 = 44 ⇒ r = 7.

प्रश्न 308. द्विघात समीकरण bx² + ax + c = 0 का विवेचक (Discriminant) है:

• (A) b² – 4ac
• (B) a² – 4bc
• (C) c² – 4ab
• (D) b² – 2ac

उत्तर: (B)

हल: मानक रूप Ax²+Bx+C=0 के लिए D=B²-4AC होता है। यहाँ A=b, B=a, C=c है। अतः D = a² – 4bc.

प्रश्न 309. निम्न में से कौन अभाज्य संख्या है?

• (A) 28
• (B) 69
• (C) 71
• (D) 63

उत्तर: (C)

प्रश्न 310. 1 + cot² A / 1 + tan² A बराबर है:

• (A) sec² A
• (B) cosec² A
• (C) cot² A
• (D) tan² A

उत्तर: (C)

हल: cosec² A / sec² A = cot² A.

प्रश्न 311. यदि एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद a और सार्व अंतर d हो, तो इसके n पदों का योगफल होगा:

• (A) a + (n-1)d
• (B) (n/2)[2a + (n-1)d]
• (C) (n/2)[a + (n-1)d]
• (D) n[2a + (n-1)d]

उत्तर: (B)

प्रश्न 312. दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि:

• (A) उनके संगत कोण बराबर हों
• (B) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों
• (C) दोनों (A) और (B)
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (C)

प्रश्न 313. बिन्दु (-5, 7) और (-1, 3) के बीच की दूरी क्या है?

• (A) 2√2
• (B) 3√2
• (C) 4√2
• (D) 5√2

उत्तर: (C)

हल: √(16 + 16) = √32 = 4√2.

प्रश्न 314. किसी वृत्त के बाह्य बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं। यदि PA = 4 सेमी, तो PB की लंबाई है:

• (A) 16 सेमी
• (B) 12 सेमी
• (C) 8 सेमी
• (D) 4 सेमी

उत्तर: (D)

हल: बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान होती हैं।

प्रश्न 315. निम्न में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?

• (A) 2/3
• (B) -15
• (C) 15%
• (D) 0.7

उत्तर: (B)

खंड-ब: गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 316-330)

प्रश्न 316. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिदम का प्रयोग कर 196 और 38220 का HCF ज्ञात करें।

हल:

38220 > 196.
38220 = 196 × 195 + 0.
चूँकि पहले ही चरण में शेषफल 0 आ गया है और भाजक 196 है।
अतः HCF (196, 38220) = 196.

प्रश्न 317. हल करें: x/2 + 2y/3 = -1 और x – y/3 = 3.

हल:

समीकरण 1: 3x + 4y = -6 … (i)
समीकरण 2: 3x – y = 9 … (ii)
समीकरण (i) में से (ii) घटाने पर:
(3x + 4y) – (3x – y) = -6 – 9
5y = -15 ⇒ y = -3.
y का मान (ii) में:
3x – (-3) = 9 ⇒ 3x + 3 = 9 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2.
हल: x = 2, y = -3.

प्रश्न 318. सिद्ध करें: (sin θ – 2sin³ θ) / (2cos³ θ – cos θ) = tan θ.

हल:

L.H.S. = sin θ (1 – 2sin² θ) / cos θ (2cos² θ – 1)
= tan θ [cos 2θ / cos 2θ]
(चूँकि cos 2θ = 1 – 2sin² θ = 2cos² θ – 1)
= tan θ = R.H.S.

प्रश्न 319. उस AP का 31वाँ पद ज्ञात करें जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

हल:

a + 10d = 38 … (i)
a + 15d = 73 … (ii)
(ii) – (i): 5d = 35 ⇒ d = 7.
a + 10(7) = 38 ⇒ a = 38 – 70 = -32.
a₃₁ = a + 30d = -32 + 30(7) = -32 + 210 = 178.

प्रश्न 320. यदि बिंदु (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5) इसी क्रम में लेने पर एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों, तो x और y ज्ञात करें।

हल:

विकर्णों के मध्य बिंदु समान होंगे।
AC का मध्य बिंदु = [(1+x)/2, (2+6)/2] = [(1+x)/2, 4].
BD का मध्य बिंदु = [(4+3)/2, (y+5)/2] = [3.5, (y+5)/2].
तुलना करने पर:
(1+x)/2 = 3.5 ⇒ 1+x = 7 ⇒ x = 6.
(y+5)/2 = 4 ⇒ y+5 = 8 ⇒ y = 3.
x = 6, y = 3.

प्रश्न 321. 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है। संगत लघु वृत्तखंड (Minor Segment) का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (π = 3.14 का प्रयोग करें)

हल:

लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल
= (90/360)πr² – (1/2)r² sin 90°
= (1/4)(3.14)(100) – (1/2)(100)(1)
= (1/4)(314) – 50
= 78.5 – 50 = 28.5 सेमी².

प्रश्न 322. सिद्ध करें कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।

हल:

(यह प्रश्न पिछले भागों में आ चुका है, महत्वपूर्ण प्रमेय है।)
ΔPAO और ΔPBO में (O केंद्र, P बाह्य बिंदु):
1. ∠OAP = ∠OBP = 90° (त्रिज्या-स्पर्श रेखा)
2. OA = OB (त्रिज्याएँ)
3. OP = OP (उभयनिष्ठ)
RHS सर्वांगसमता से ΔPAO ≅ ΔPBO.
CPCT से PA = PB.

प्रश्न 323. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद (i) लाल हो? (ii) लाल नहीं हो?

हल:

कुल = 8.
(i) P(लाल) = 3/8.
(ii) P(लाल नहीं) = 1 – 3/8 = 5/8.

प्रश्न 324. द्विघात समीकरण 2x² – 6x + 3 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात करें।

हल:

a=2, b=-6, c=3.
D = b² – 4ac = (-6)² – 4(2)(3)
= 36 – 24 = 12.
चूँकि D > 0 और पूर्ण वर्ग नहीं है, अतः मूल वास्तविक और असमान (और अपरिमेय) होंगे।

प्रश्न 325. यदि tan 2A = cot (A – 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात करें।

हल:

tan 2A = cot (90° – 2A).
cot (90° – 2A) = cot (A – 18°).
90 – 2A = A – 18.
108 = 3A ⇒ A = 36°.

प्रश्न 326. एक खिलौना त्रिज्या 3.5 सेमी वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। खिलौने की कुल ऊँचाई 15.5 सेमी है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल:

r = 3.5, कुल ऊँचाई = 15.5.
शंकु की ऊँचाई h = 15.5 – 3.5 = 12.
l = √(12² + 3.5²) = √(144 + 12.25) = 12.5.
क्षेत्रफल = πrl + 2πr²
= (22/7)(3.5)(12.5) + 2(22/7)(3.5)(3.5)
= 137.5 + 77 = 214.5 सेमी².

प्रश्न 327. सिद्ध करें कि 5 – √3 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 5 – √3 = p/q (परिमेय).
√3 = 5 – p/q.
RHS परिमेय है, LHS अपरिमेय है। विरोधाभास।
अतः 5 – √3 अपरिमेय है।

प्रश्न 328. निम्न आँकड़ों का बहुलक ज्ञात करें: वर्ग 0-20 (10), 20-40 (35), 40-60 (52), 60-80 (61), 80-100 (38)।

हल:

बहुलक वर्ग = 60-80 (f=61).
l=60, f1=61, f0=52, f2=38, h=20.
Mode = 60 + [(61-52)/(122-52-38)] × 20
= 60 + [9/32] × 20
= 60 + 5.625 = 65.625.

प्रश्न 329. 7.6 सेमी लंबा एक रेखाखंड खींचिए और इसे 5:8 के अनुपात में विभाजित कीजिए। (सिद्धांत)

हल:

1. AB = 7.6 सेमी खींचें।
2. A से न्यूनकोण बनाती किरण AX खींचें।
3. AX पर 5+8=13 बराबर चाप लगाएँ (A1…A13)।
4. A13 को B से मिलाएँ।
5. A5 से A13B के समांतर रेखा खींचें जो AB को P पर काटे।
P बिंदु AB को 5:8 में विभाजित करता है।

प्रश्न 330. एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। (पाइथागोरस प्रमेय) इसे सिद्ध करें।

हल:

दिया है: ΔABC में ∠B=90°.
सिद्ध करना है: AC² = AB² + BC².
रचना: BD ⊥ AC खींचें।
उपपत्ति: ΔADB ~ ΔABC ⇒ AD/AB = AB/AC ⇒ AB² = AD.AC … (i)
ΔBDC ~ ΔABC ⇒ CD/BC = BC/AC ⇒ BC² = CD.AC … (ii)
(i) और (ii) को जोड़ने पर:
AB² + BC² = AC(AD + CD) = AC.AC = AC². (सिद्ध हुआ)

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खंड-स: अतिरिक्त वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 331-345)

प्रश्न 331. किसी घटना E के लिए, P(E) + P(E नहीं) = ?

• (A) 0
• (B) 1
• (C) -1
• (D) 2

उत्तर: (B)

प्रश्न 332. cos(90° – θ) बराबर है:

• (A) cos θ
• (B) -sin θ
• (C) sin θ
• (D) -cos θ

उत्तर: (C)

प्रश्न 333. 3, 4, 0, 3, 4, 5 का बहुलक है:

• (A) 3
• (B) 4
• (C) 3 और 4 दोनों
• (D) कोई नहीं

उत्तर: (C)

हल: 3 और 4 दोनों 2-2 बार आए हैं। इसे द्विबहुलक (Bimodal) कहते हैं।

प्रश्न 334. बिंदु (3, -4) की x-अक्ष से दूरी है:

• (A) 3 इकाई
• (B) 4 इकाई
• (C) 5 इकाई
• (D) -4 इकाई

उत्तर: (B)

हल: x-अक्ष से दूरी, y-निर्देशांक का निरपेक्ष मान होता है। |-4| = 4.

प्रश्न 335. द्विघात समीकरण 2x² – 4x + 3 = 0 के मूलों का योग होगा:

• (A) 2
• (B) -2
• (C) 3/2
• (D) -3/2

उत्तर: (A)

हल: योग = -b/a = -(-4)/2 = 2.

प्रश्न 336. वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल क्या होगा यदि वृत्त की त्रिज्या r हो?

• (A) πr²
• (B) 1/2 πr²
• (C) 1/4 πr²
• (D) 2πr

उत्तर: (C)

प्रश्न 337. sin² 45° + cos² 45° का मान है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 1/2

उत्तर: (B)

प्रश्न 338. एक सिक्के को उछालने पर चित (Head) आने की प्रायिकता है:

• (A) 1
• (B) 1/2
• (C) 2
• (D) 0

उत्तर: (B)

प्रश्न 339. बिंदुओं (-2, 3) और (4, 1) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक हैं:

• (A) (1, 2)
• (B) (2, 2)
• (C) (1, 1)
• (D) (-1, 2)

उत्तर: (A)

हल: x = (-2+4)/2 = 1, y = (3+1)/2 = 2.

प्रश्न 340. k के किस मान के लिए समीकरण निकाय x + 2y = 3 और 5x + ky = 15 के अनंत हल हैं?

• (A) 5
• (B) 10
• (C) 2
• (D) 6

उत्तर: (B)

हल: a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 ⇒ 1/5 = 2/k ⇒ k = 10.

प्रश्न 341. यदि tan A = cot B, तो A + B का मान है:

• (A) 45°
• (B) 60°
• (C) 90°
• (D) 180°

उत्तर: (C)

हल: tan A = tan(90-B) ⇒ A = 90-B ⇒ A+B=90.

प्रश्न 342. निम्न में से कौन परिमेय संख्या है?

• (A) √3
• (B) π
• (C) 4/0
• (D) 0

उत्तर: (D)

प्रश्न 343. त्रिघात बहुपद का व्यापक रूप है:

• (A) ax² + bx + c
• (B) ax³ + bx² + cx + d
• (C) ax⁴ + bx³ + c
• (D) ax² + bx

उत्तर: (B)

प्रश्न 344. यदि एक घन की भुजा a सेमी है, तो उसका आयतन होगा:

• (A) a²
• (B) 6a²
• (C) a³
• (D) 4a²

उत्तर: (C)

प्रश्न 345. एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल होता है:

• (A) (√3/4) × भुजा²
• (B) (√3/2) × भुजा²
• (C) (1/2) × आधार × ऊँचाई
• (D) भुजा²

उत्तर: (A)

खंड-द: अतिरिक्त गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 346-360)

प्रश्न 346. सिद्ध करें कि 2 – √5 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 2 – √5 एक परिमेय संख्या r है।
2 – √5 = r ⇒ √5 = 2 – r.
चूँकि 2 और r परिमेय हैं, 2 – r भी परिमेय होगी।
परंतु √5 एक अपरिमेय संख्या है।
विरोधाभास के कारण, 2 – √5 अपरिमेय है।

प्रश्न 347. प्रतिस्थापन विधि से हल करें: x + y = 5 और 2x – 3y = 4.

हल:

x = 5 – y … (i)
2(5 – y) – 3y = 4
10 – 2y – 3y = 4
-5y = -6 ⇒ y = 6/5.
x = 5 – 6/5 = 19/5.
x = 19/5, y = 6/5.

प्रश्न 348. सिद्ध करें: (1 + cot A – cosec A)(1 + tan A + sec A) = 2.

हल:

LHS = (1 + cos/sin – 1/sin)(1 + sin/cos + 1/cos)
= [(sin + cos – 1)/sin] [(cos + sin + 1)/cos]
= [(sin + cos)² – 1²] / (sin cos)
= [sin² + cos² + 2sin cos – 1] / (sin cos)
= [1 + 2sin cos – 1] / (sin cos)
= 2sin cos / sin cos = 2 = RHS.

प्रश्न 349. AP: 8, 3, -2, … के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात करें।

हल:

a = 8, d = -5, n = 22.
S₂₂ = (22/2)[2(8) + 21(-5)]
= 11[16 – 105]
= 11[-89] = -979.

प्रश्न 350. बिंदुओं (-4, 6) और बिंदुओं (-6, 10) और (3, -8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल:

माना अनुपात k:1 है।
x = (m x₂ + n x₁) / (m + n)
-4 = (k(3) + 1(-6)) / (k + 1)
-4k – 4 = 3k – 6
-7k = -2 ⇒ k = 2/7.
अनुपात 2:7 है।

प्रश्न 351. 5 सेमी, 6 सेमी और 7 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना करें और इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज बनाएँ जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की संगत भुजाओं की 7/5 गुनी हों।

हल:

(यह एक रचना प्रश्न है।)
1. BC = 7 सेमी खींचें। B से 5 सेमी और C से 6 सेमी का चाप लगाकर A प्राप्त करें।
2. B से नीचे की ओर न्यूनकोण रेखा खींचें, उस पर 7 बराबर चाप लगाएँ।
3. 5वें बिंदु को C से मिलाएँ और 7वें बिंदु से इसके समांतर रेखा खींचकर C’ प्राप्त करें।
4. C’ से CA के समांतर रेखा खींचकर A’ प्राप्त करें।

प्रश्न 352. सिद्ध करें कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।

हल:

हम जानते हैं कि त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।
यदि कोई रेखा स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा पर लम्ब है, तो उसे उस बिंदु पर अभिलंब (Normal) कहते हैं।
वृत्त का अभिलंब सदैव केंद्र से गुजरता है क्योंकि त्रिज्या ही वह रेखाखंड है जो केंद्र को स्पर्श बिंदु से मिलाती है और स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।

प्रश्न 353. निम्न बारंबारता बंटन का माध्य ज्ञात करें:
वर्ग: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50
बारंबारता: 7, 10, 15, 8, 10

हल:

मध्य बिंदु (x): 5, 15, 25, 35, 45
f: 7, 10, 15, 8, 10 (Σf = 50)
fx: 35, 150, 375, 280, 450 (Σfx = 1290)
माध्य = 1290 / 50 = 25.8.

प्रश्न 354. एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 सेमी है और इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप 18 सेमी और 6 सेमी हैं। छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल:

2πR = 18 ⇒ πR = 9.
2πr = 6 ⇒ πr = 3.
वक्र पृष्ठ = π(R+r)l = (πR + πr)l
= (9 + 3) × 4
= 12 × 4 = 48 सेमी².

प्रश्न 355. 52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात करें कि वह (i) इक्का हो, (ii) ईंट का पत्ता हो।

हल:

(i) इक्के = 4. P = 4/52 = 1/13.
(ii) ईंट के पत्ते = 13. P = 13/52 = 1/4.

प्रश्न 356. द्विघात सूत्र से हल करें: 3x² – 5x + 2 = 0.

हल:

D = 25 – 24 = 1.
x = (5 ± 1) / 6.
x = 6/6 = 1 और x = 4/6 = 2/3.

प्रश्न 357. एक मीनार के पाद से 30 मी दूर स्थित बिंदु से शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।

हल:

tan 30° = h / 30.
1/√3 = h / 30.
h = 30/√3 = 10√3 मीटर।

प्रश्न 358. प्रथम 10 सम प्राकृत संख्याओं का माध्य ज्ञात करें।

हल:

संख्याएँ: 2, 4, 6, …, 20.
योग = n(n+1) = 10(11) = 110.
माध्य = 110 / 10 = 11.

प्रश्न 359. k के किस मान के लिए समीकरण x + 2y = 7 और 2x + ky = 14 संपाती होंगे?

हल:

संपाती के लिए: a1/a2 = b1/b2 = c1/c2.
1/2 = 2/k = 7/14.
1/2 = 2/k ⇒ k = 4.

प्रश्न 360. सिद्ध करें कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत माध्यिकाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

हल:

माना ΔABC ~ ΔPQR और AD, PM माध्यिकाएँ हैं।
ΔABD ~ ΔPQM (SAS समरूपता से, क्योंकि AB/PQ = BD/QM और ∠B=∠Q).
अतः AB/PQ = AD/PM.
क्षेत्रफल अनुपात = (AB/PQ)² = (AD/PM)².

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खंड-य: शेष वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 361-380)

प्रश्न 361. cot(90° – A) बराबर है:

• (A) cot A
• (B) tan A
• (C) sin A
• (D) cos A

उत्तर: (B)

प्रश्न 362. मूल बिंदु से बिंदु P(x, y) की दूरी है:

• (A) √(x² + y²)
• (B) x² + y²
• (C) x + y
• (D) √(x² – y²)

उत्तर: (A)

प्रश्न 363. (2 sin 38°) / (cos 52°) का मान है:

• (A) 2
• (B) 1
• (C) 0
• (D) 4

उत्तर: (A)

हल: sin 38° = cos 52°. अतः 2(1) = 2.

प्रश्न 364. बहुपद x² – 3x – 4 के शून्यक हैं:

• (A) 4, -1
• (B) -4, 1
• (C) 4, 1
• (D) -4, -1

उत्तर: (A)

हल: (x-4)(x+1) = 0.

प्रश्न 365. AP: 10, 7, 4, … का 30वाँ पद है:

• (A) 97
• (B) 77
• (C) -77
• (D) -87

उत्तर: (C)

हल: a=10, d=-3. a₃₀ = 10 + 29(-3) = 10 – 87 = -77.

प्रश्न 366. एक पासे को फेंकने पर 8 आने की प्रायिकता है:

• (A) 1
• (B) 1/6
• (C) 0
• (D) 8

उत्तर: (C)

प्रश्न 367. वर्ग अंतराल 15-25 का वर्ग चिह्न है:

• (A) 15
• (B) 25
• (C) 40
• (D) 20

उत्तर: (D)

हल: (15+25)/2 = 20.

प्रश्न 368. एक बेलन, जिसकी आधार की त्रिज्या r और ऊँचाई h है, का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

• (A) πr²h
• (B) 2πrh
• (C) 1/3 πr²h
• (D) 2πr(r+h)

उत्तर: (B)

प्रश्न 369. sec² A – tan² A का मान है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) -1
• (D) 2

उत्तर: (B)

प्रश्न 370. बिंदुओं (4, 5) और (6, 5) के मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु है:

• (A) (5, 5)
• (B) (2, 5)
• (C) (5, 4)
• (D) (10, 10)

उत्तर: (A)

हल: ((4+6)/2, (5+5)/2) = (5, 5).

प्रश्न 371. sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° का मान है:

• (A) 1
• (B) 0
• (C) 2
• (D) 1/2

उत्तर: (A)

हल: यह sin(60+30) = sin 90 = 1 है।

प्रश्न 372. दो अभाज्य संख्याओं का म.स. (HCF) होता है:

• (A) 1
• (B) 2
• (C) 0
• (D) गुणनफल

उत्तर: (A)

प्रश्न 373. यदि एक वृत्त का क्षेत्रफल 154 सेमी² है, तो इसकी त्रिज्या है:

• (A) 14 सेमी
• (B) 7 सेमी
• (C) 22 सेमी
• (D) 11 सेमी

उत्तर: (B)

प्रश्न 374. रैखिक समीकरण का मानक रूप है:

• (A) ax² + bx + c = 0
• (B) ax + by + c = 0
• (C) ax³ + bx = 0
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (B)

प्रश्न 375. निम्न में से कौन अपरिमेय संख्या नहीं है?

• (A) √7
• (B) √13
• (C) √25
• (D) √31

उत्तर: (C)

हल: √25 = 5 (परिमेय).

प्रश्न 376. बहुपद 3x² – 4x + 6 के मूलों का योग है:

• (A) 4/3
• (B) -4/3
• (C) 2
• (D) 6

उत्तर: (A)

हल: -(-4)/3 = 4/3.

प्रश्न 377. यदि किसी वृत्त की परिधि 22 सेमी है, तो उसका क्षेत्रफल होगा:

• (A) 77/2 सेमी²
• (B) 154 सेमी²
• (C) 44 सेमी²
• (D) 22 सेमी²

उत्तर: (A)

हल: r = 7/2. क्षेत्रफल = (22/7)(7/2)(7/2) = 77/2.

प्रश्न 378. किसी घटना की प्रायिकता का अधिकतम मान होता है:

• (A) 0
• (B) 0.5
• (C) 1
• (D) अनंत

उत्तर: (C)

प्रश्न 379. यदि बहुपद x² – 5x + 7 के शून्यक α, β हों, तो (1/α + 1/β) का मान होगा:

• (A) 5/7
• (B) 7/5
• (C) -5/7
• (D) -7/5

उत्तर: (A)

हल: α+β=5, αβ=7. योग/गुणनफल = 5/7.

प्रश्न 380. त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक क्या हैं यदि शीर्ष (x₁, y₁), (x₂, y₂) और (x₃, y₃) हों?

• (A) (x₁+x₂+x₃, y₁+y₂+y₃)
• (B) ((x₁+x₂+x₃)/2, (y₁+y₂+y₃)/2)
• (C) ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (C)

खंड-र: शेष गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 381-400)

प्रश्न 381. सिद्ध करें कि 3 + √2 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 3 + √2 = परिमेय संख्या r.
√2 = r – 3.
LHS अपरिमेय है, RHS परिमेय है। यह संभव नहीं है।
अतः 3 + √2 अपरिमेय है।

प्रश्न 382. रैखिक समीकरण युग्म x + y = 14 और x – y = 4 को हल करें।

हल:

समीकरणों को जोड़ने पर: 2x = 18 ⇒ x = 9.
x का मान रखने पर: 9 + y = 14 ⇒ y = 5.
x = 9, y = 5.

प्रश्न 383. 12, 15 और 21 का म.स. (HCF) और ल.स. (LCM) ज्ञात करें।

हल:

12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
HCF = 3.
LCM = 2² × 3 × 5 × 7 = 4 × 3 × 5 × 7 = 420.

प्रश्न 384. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके शीर्ष (2, 3), (-1, 0) और (2, -4) हैं।

हल:

(यह प्रश्न दोहराया गया है, अभ्यास के लिए महत्वपूर्ण)
क्षेत्रफल = 10.5 वर्ग इकाई।

प्रश्न 385. सिद्ध करें: (sec A + tan A)(1 – sin A) = cos A.

हल:

LHS = (1/cos + sin/cos)(1 – sin)
= [(1 + sin)/cos] (1 – sin)
= (1 – sin² A) / cos A
= cos² A / cos A = cos A.

प्रश्न 386. 2, 7, 12, … के 10 पदों का योग ज्ञात करें।

हल:

a = 2, d = 5, n = 10.
S₁₀ = (10/2) [4 + 9(5)]
= 5 [4 + 45] = 5(49) = 245.

प्रश्न 387. एक ताश की गड्डी से एक पत्ता निकालने पर उसके बादशाह (King) होने की प्रायिकता क्या है?

हल:

बादशाह = 4. कुल = 52.
P = 4/52 = 1/13.

प्रश्न 388. 3 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन ज्ञात करें।

हल:

V = (4/3)πr³ = (4/3)(22/7)(27)
= 36 × 22 / 7 = 792 / 7 = 113.14 सेमी³.

प्रश्न 389. 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3 का बहुलक ज्ञात करें।

हल:

2 सबसे अधिक बार (3 बार) आया है।
बहुलक = 2.

प्रश्न 390. एक रेखाखंड AB = 8 सेमी खींचें और इसे आंतरिक रूप से 3:2 में विभाजित करें। (सिद्धांत)

हल:

1. AB = 8 सेमी खींचें।
2. A से न्यूनकोण रेखा पर 5 (3+2) चाप लगाएँ।
3. 5वें बिंदु को B से मिलाएँ।
4. 3रे बिंदु से समांतर रेखा खींचें।

प्रश्न 391. सिद्ध करें कि बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ समान होती हैं।

हल:

यह प्रमेय बार-बार पूछा जाता है। इसे कंठस्थ करें। (RHS सर्वांगसमता द्वारा)।

प्रश्न 392. यदि एक मीनार की छाया उसकी ऊँचाई की √3 गुनी है, तो उन्नयन कोण क्या है?

हल:

tan θ = h / h√3 = 1/√3.
θ = 30°.

प्रश्न 393. एक शंकु के छिन्नक की ऊँचाई 14 सेमी है और सिरों की त्रिज्याएँ 4 सेमी और 2 सेमी हैं। आयतन ज्ञात करें।

हल:

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr)
= (1/3)(22/7)(14) (16 + 4 + 8)
= (1/3)(44) (28)
= 1232 / 3 = 410.67 सेमी³.

प्रश्न 394. 2x² + x – 6 = 0 को हल करें।

हल:

2x² + 4x – 3x – 6 = 0
2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
(x + 2)(2x – 3) = 0
x = -2, 3/2.

प्रश्न 395. बिंदु (4, -3) और (8, 5) को मिलाने वाले रेखाखंड को 3:1 में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।

हल:

x = (3(8) + 1(4))/4 = 28/4 = 7.
y = (3(5) + 1(-3))/4 = 12/4 = 3.
(7, 3).

प्रश्न 396. 6 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसका कोण 60° है।

हल:

क्षेत्रफल = (60/360) × (22/7) × 36
= 132/7 = 18.86 सेमी².

प्रश्न 397. सिद्ध करें कि किसी वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।

हल:

व्यास AB के सिरों पर त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण 90° होता है।
ये एकांतर अंतःकोण बनाते हैं (दोनों 90°)।
अतः रेखाएँ समांतर होती हैं।

प्रश्न 398. प्रथम 5 विषम संख्याओं का माध्य ज्ञात करें।

हल:

1, 3, 5, 7, 9.
योग = 25.
माध्य = 25/5 = 5.

प्रश्न 399. k का मान ज्ञात करें जिसके लिए समीकरण 2x + 3y = 5 और 4x + ky = 10 के अनंत हल हों।

हल:

2/4 = 3/k = 5/10.
1/2 = 3/k ⇒ k = 6.

प्रश्न 400. थेल्स प्रमेय (Thales Theorem) का कथन लिखें।

हल:

“यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर कोई रेखा खींची जाए, तो वह अन्य दो भुजाओं को जिन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, वे बिंदु उन भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।”
(AD/DB = AE/EC).

---

भाग – 4 समाप्त (प्रश्न 301-400)

बिहार बोर्ड मैट्रिक (कक्षा 10) गणित – पिछले वर्षों के हल प्रश्न पत्र

महत्वपूर्ण प्रश्नों की सीरीज: भाग – 6 (प्रश्न 501-600)

नोट: यह “हस्तलिखित नोट्स” (Handwritten Notes) प्रारूप पर आधारित विस्तृत हल हैं।

खंड-अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 501-515)

प्रश्न 501. cos 1° cos 2° cos 3° … cos 90° का मान है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) -1
• (D) 2

उत्तर: (A)

हल: चूँकि cos 90° = 0 होता है, इसलिए पूरी श्रृंखला का गुणनफल 0 हो जाएगा।

प्रश्न 502. यदि एक अर्धवृत्त का परिमाप 36 सेमी है, तो उसकी त्रिज्या है:

• (A) 14 सेमी
• (B) 7 सेमी
• (C) 21 सेमी
• (D) 3.5 सेमी

उत्तर: (B)

हल: r(π + 2) = 36 ⇒ r(36/7) = 36 ⇒ r = 7.

प्रश्न 503. दो समानकोणिक त्रिभुजों में उनकी संगत भुजाओं का अनुपात सदैव समान रहता है, यह किसने कहा?

• (A) आर्यभट्ट
• (B) यूक्लिड
• (C) थेल्स
• (D) पाइथागोरस

उत्तर: (C)

प्रश्न 504. बिंदु A(4, 5) और B(6, 5) को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिंदु है:

• (A) (5, 5)
• (B) (2, 5)
• (C) (5, 4)
• (D) (10, 10)

उत्तर: (A)

हल: x = (4+6)/2 = 5, y = (5+5)/2 = 5.

प्रश्न 505. यदि 3θ = 90°, तो cos θ का मान होगा:

• (A) 1/2
• (B) √3/2
• (C) 1/√2
• (D) 0

उत्तर: (B)

हल: θ = 30°. cos 30° = √3/2.

प्रश्न 506. द्विघात बहुपद x² + 3x + 2 के शून्यक हैं:

• (A) -1, -2
• (B) 1, 2
• (C) -1, 2
• (D) 1, -2

उत्तर: (A)

हल: (x+1)(x+2) = 0.

प्रश्न 507. वृत्ताकार पथ पर तीन धावक एक ही स्थान से दौड़ना शुरू करते हैं। एक चक्कर लगाने में क्रमशः 1 घंटा, 3 घंटे और 5 घंटे लगते हैं। तीनों को प्रस्थान बिंदु पर पुनः मिलने में कितना समय लगेगा?

• (A) 3 घंटे
• (B) 5 घंटे
• (C) 15 घंटे
• (D) 10 घंटे

उत्तर: (C)

हल: LCM(1, 3, 5) = 15.

प्रश्न 508. 1 + tan² A / cosec² A बराबर है:

• (A) sec² A
• (B) cosec² A
• (C) cot² A
• (D) tan² A

उत्तर: (D)

हल: sec² A / cosec² A = tan² A.

प्रश्न 509. यदि एक समांतर श्रेणी का सार्व अंतर -2 है और nवाँ पद a_n है, तो a₁₇ – a₁₃ बराबर है:

• (A) -8
• (B) 8
• (C) -4
• (D) 4

उत्तर: (A)

हल: a₁₇ – a₁₃ = (a+16d) – (a+12d) = 4d = 4(-2) = -8.

प्रश्न 510. किसी वृत्त के केंद्र से 13 सेमी दूर स्थित बिंदु P से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 12 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या है:

• (A) 6 सेमी
• (B) 12 सेमी
• (C) 9 सेमी
• (D) 5 सेमी

उत्तर: (D)

हल: √(13² – 12²) = √(169 – 144) = √25 = 5.

प्रश्न 511. निम्न में से कौन अभाज्य संख्या है?

• (A) 15
• (B) 23
• (C) 12
• (D) 75

उत्तर: (B)

प्रश्न 512. (1 + cot² A) / (1 + tan² A) बराबर है:

• (A) tan² A
• (B) sec² A
• (C) cot² A
• (D) cosec² A

उत्तर: (C)

प्रश्न 513. यदि किसी घनाभ की लंबाई l, चौड़ाई b और ऊँचाई h हो, तो घनाभ का आयतन है:

• (A) lbh
• (B) √(l²+b²+h²)
• (C) 2(lb+bh+hl)
• (D) 2(l+b)h

उत्तर: (A)

प्रश्न 514. tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° का मान है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) -1
• (D) 2

उत्तर: (B)

हल: (tan 10 tan 80) (tan 15 tan 75) = (1)(1) = 1.

प्रश्न 515. निम्न में कौन सी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?

• (A) 1.1
• (B) 0.5
• (C) 0.9
• (D) 0.1

उत्तर: (A)

खंड-ब: गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 516-530)

प्रश्न 516. सिद्ध करें कि 5√2 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 5√2 एक परिमेय संख्या p/q है (जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0)।
√2 = p / 5q.
चूँकि p, q और 5 पूर्णांक हैं, इसलिए p/5q एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि √2 भी एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
परंतु हम जानते हैं कि √2 एक अपरिमेय संख्या है।
यह एक विरोधाभास है। अतः हमारी मान्यता गलत है।
5√2 एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 517. हल करें: x + y = 7 और 5x + 12y = 7.

हल:

समीकरण 1 से: x = 7 – y.
समीकरण 2 में x का मान रखने पर:
5(7 – y) + 12y = 7
35 – 5y + 12y = 7
7y = 7 – 35
7y = -28 ⇒ y = -4.
x = 7 – (-4) = 11.
x = 11, y = -4.

प्रश्न 518. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिंदुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल:

m=2, n=3.
x = (mx2 + nx1)/(m+n) = (2(4) + 3(-1))/5 = (8-3)/5 = 1.
y = (my2 + ny1)/(m+n) = (2(-3) + 3(7))/5 = (-6+21)/5 = 3.
बिंदु: (1, 3).

प्रश्न 519. द्विघात समीकरण 5x² – 4x + 2 = 0 के विवेचक का मान ज्ञात करें।

हल:

D = b² – 4ac
= (-4)² – 4(5)(2)
= 16 – 40 = -24.

प्रश्न 520. सिद्ध करें: (cosec A – sin A)(sec A – cos A) = 1 / (tan A + cot A).

हल:

LHS = (1/sin – sin)(1/cos – cos)
= (cos² A/sin A)(sin² A/cos A)
= sin A cos A.
RHS = 1 / (sin/cos + cos/sin)
= 1 / [(sin² + cos²) / sin cos]
= sin cos / 1 = sin A cos A.
LHS = RHS.

प्रश्न 521. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC पर क्रमशः बिंदु D और E इस प्रकार हैं कि DE || BC. यदि AD = 4x – 3, AE = 8x – 7, BD = 3x – 1 और CE = 5x – 3 हो, तो x का मान ज्ञात करें।

हल:

थेल्स प्रमेय से: AD/BD = AE/CE
(4x – 3)/(3x – 1) = (8x – 7)/(5x – 3)
(4x – 3)(5x – 3) = (8x – 7)(3x – 1)
20x² – 12x – 15x + 9 = 24x² – 8x – 21x + 7
20x² – 27x + 9 = 24x² – 29x + 7
4x² – 2x – 2 = 0
2x² – x – 1 = 0
(2x + 1)(x – 1) = 0.
x = 1 (दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए x = -1/2 अमान्य)।

प्रश्न 522. सिद्ध करें कि वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।

हल:

(यह प्रमेय कई बार आ चुका है, महत्वपूर्ण है। न्यूनतम दूरी सिद्धांत का प्रयोग करें।)

प्रश्न 523. एक लॉटरी में 1000 टिकट बेचे गए और 5 इनाम रखे गए। साकेत ने एक टिकट खरीदा। उसके इनाम जीतने की प्रायिकता क्या है?

हल:

अनुकूल परिणाम = 5.
कुल परिणाम = 1000.
P = 5/1000 = 1/200 = 0.005.

प्रश्न 524. AP: 25, 28, 31, … का कौन सा पद प्रथम ऋणात्मक पद होगा? (नोट: यह AP बढ़ रही है, ऋणात्मक पद नहीं होगा। प्रश्न में त्रुटि हो सकती है। मान लेते हैं AP घट रही है: 25, 22, 19…)

हल (यदि AP: 25, 22, 19… है):
a = 25, d = -3.
a_n < 0 ⇒ 25 + (n-1)(-3) < 0
25 – 3n + 3 < 0
28 < 3n ⇒ n > 9.33.
अतः 10वाँ पद प्रथम ऋणात्मक पद होगा।

प्रश्न 525. उस गोले का वक्र पृष्ठ निकालें जिसका व्यास 14 सेमी है।

हल:

r = 7 सेमी।
क्षेत्रफल = 4πr² = 4(22/7)(49) = 88 × 7 = 616 सेमी².

प्रश्न 526. निम्न आँकड़ों का बहुलक ज्ञात करें: 2, 3, 2, 3, 5, 2, 7, 2, 9.

हल:

2 की बारंबारता सबसे अधिक (4 बार) है।
बहुलक = 2.

प्रश्न 527. दो पासों को एक साथ फेंकने पर दोनों पर विषम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

हल:

विषम संख्याएँ: 1, 3, 5.
पहले पर विषम: 3/6 = 1/2. दूसरे पर विषम: 1/2.
कुल प्रायिकता = 1/2 × 1/2 = 1/4.

प्रश्न 528. सिद्ध करें कि बिंदु (a, 0), (0, b) और (1, 1) संरेखी हैं यदि 1/a + 1/b = 1.

हल:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0.
x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2) = 0
a(b-1) + 0 + 1(0-b) = 0
ab – a – b = 0 ⇒ ab = a + b.
ab से भाग देने पर: 1 = 1/b + 1/a.

प्रश्न 529. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल:

क्षेत्रफल = (√3/4) × भुजा²
= (√3/4) × 144
= 36√3 सेमी².

प्रश्न 530. 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के एक चाप की लंबाई ज्ञात करें जो केंद्र पर 90° का कोण बनाता है।

हल:

L = (θ/360) 2πr
= (90/360) × 2 × (22/7) × 7
= (1/4) × 44 = 11 सेमी।

---

खंड-स: अतिरिक्त वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 531-545)

प्रश्न 531. दो पासों को एक साथ फेंकने पर दोनों पर आए अंकों का योग 7 होने की प्रायिकता है:

• (A) 1/36
• (B) 1/6
• (C) 5/36
• (D) 7/36

उत्तर: (B)

हल: अनुकूल परिणाम: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) = 6. प्रायिकता = 6/36 = 1/6.

प्रश्न 532. sin 60° cos 30° – cos 60° sin 30° का मान है:

• (A) 1
• (B) 0
• (C) 1/2
• (D) -1

उत्तर: (C)

हल: यह sin(60° – 30°) = sin 30° = 1/2 है।

प्रश्न 533. बिंदु P(x, y) की मूल बिंदु से दूरी है:

• (A) √(x² – y²)
• (B) √(x² + y²)
• (C) x + y
• (D) x² + y²

उत्तर: (B)

प्रश्न 534. यदि a = bq + r में a = 37, b = 4, r = 1 हो, तो q का मान होगा:

• (A) 8
• (B) 9
• (C) 7
• (D) 10

उत्तर: (B)

हल: 37 = 4q + 1 ⇒ 36 = 4q ⇒ q = 9.

प्रश्न 535. द्विघात समीकरण 2x² – 5x + 3 = 0 के मूलों का योग है:

• (A) 2/5
• (B) -5/2
• (C) 5/2
• (D) 3/2

उत्तर: (C)

हल: -b/a = -(-5)/2 = 5/2.

प्रश्न 536. बिंदु (-2, 3) और (4, 1) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिंदु के निर्देशांक हैं:

• (A) (1, 2)
• (B) (2, 2)
• (C) (1, 1)
• (D) (-1, 2)

उत्तर: (A)

हल: ((-2+4)/2, (3+1)/2) = (1, 2).

प्रश्न 537. 1 + tan² A बराबर है:

• (A) sec² A
• (B) cosec² A
• (C) cot² A
• (D) sin² A

उत्तर: (A)

प्रश्न 538. AP: 4, 10, 16, 22, … का सार्व अंतर है:

• (A) 4
• (B) 6
• (C) 2
• (D) 8

उत्तर: (B)

प्रश्न 539. बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई:

• (A) असमान होती है
• (B) समान होती है
• (C) दुगुनी होती है
• (D) आधी होती है

उत्तर: (B)

प्रश्न 540. माध्य, माध्यक और बहुलक में संबंध है:

• (A) माध्य – बहुलक = 3(माध्य – माध्यक)
• (B) बहुलक = 3 माध्यक – 2 माध्य
• (C) (A) और (B) दोनों
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (C)

प्रश्न 541. किसी घटना E के लिए P(E) + P(E नहीं) का मान है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) -1
• (D) 2

उत्तर: (B)

प्रश्न 542. रैखिक बहुपद के शून्यकों की संख्या होती है:

• (A) 2
• (B) 1
• (C) 3
• (D) 0

उत्तर: (B)

प्रश्न 543. वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र है:

• (A) 2πr
• (B) πr²
• (C) 2πr²
• (D) 4πr²

उत्तर: (B)

प्रश्न 544. tan 45° का मान है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) √3
• (D) ∞

उत्तर: (B)

प्रश्न 545. π क्या है?

• (A) परिमेय संख्या
• (B) अपरिमेय संख्या
• (C) पूर्णांक
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (B)

खंड-द: अतिरिक्त गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 546-560)

प्रश्न 546. सिद्ध करें कि 3 + √5 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 3 + √5 एक परिमेय संख्या r है।
√5 = r – 3.
चूँकि r और 3 परिमेय हैं, तो r – 3 भी परिमेय होगी।
लेकिन √5 एक अपरिमेय संख्या है।
यह विरोधाभास है। अतः 3 + √5 अपरिमेय है।

प्रश्न 547. विलोपन विधि से हल करें: 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2.

हल:

समीकरण (ii) को 2 से गुणा करें: 4x – 4y = 4.
समीकरण (i) में जोड़ें:
3x + 4y + 4x – 4y = 10 + 4
7x = 14 ⇒ x = 2.
x का मान (i) में: 3(2) + 4y = 10 ⇒ 6 + 4y = 10 ⇒ 4y = 4 ⇒ y = 1.
x = 2, y = 1.

प्रश्न 548. सिद्ध करें: (sec A + tan A)(1 – sin A) = cos A.

हल:

LHS = (1/cos A + sin A/cos A)(1 – sin A)
= [(1 + sin A)/cos A] (1 – sin A)
= (1 – sin² A) / cos A
= cos² A / cos A
= cos A = RHS.

प्रश्न 549. प्रथम 20 विषम प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात करें।

हल:

विषम संख्याओं का योग = n².
S₂₀ = (20)² = 400.

प्रश्न 550. बिंदुओं A(-2, -2) और B(2, -4) को जोड़ने वाले रेखाखंड P पर इस प्रकार स्थित है कि AP = (3/7)AB. P के निर्देशांक ज्ञात करें।

हल:

AP/AB = 3/7 ⇒ AP/PB = 3/4. (m:n = 3:4).
x = (3(2) + 4(-2)) / 7 = (6 – 8) / 7 = -2/7.
y = (3(-4) + 4(-2)) / 7 = (-12 – 8) / 7 = -20/7.
P(-2/7, -20/7).

प्रश्न 551. एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 सेमी² है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 सेमी है। आधार की त्रिज्या ज्ञात करें।

हल:

πrl = 308.
(22/7) × r × 14 = 308.
44r = 308 ⇒ r = 308/44 = 7 सेमी।

प्रश्न 552. सिद्ध करें कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।

हल:

वृत्त के परिगत चतुर्भुज के लिए आमने-सामने की भुजाओं का योग बराबर होता है।
AB + CD = AD + BC.
समांतर चतुर्भुज में AB = CD और AD = BC.
2AB = 2AD ⇒ AB = AD.
आसन्न भुजाएँ बराबर होने पर समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज बन जाता है।

प्रश्न 553. ताश के 52 पत्तों में से एक पत्ता निकाला जाता है। इसके ईंट की बेगम (Queen of Diamonds) होने की प्रायिकता ज्ञात करें।

हल:

ईंट की बेगम केवल 1 होती है।
P = 1/52.

प्रश्न 554. द्विघात सूत्र का प्रयोग कर 2x² + x – 4 = 0 के मूल ज्ञात करें।

हल:

D = 1² – 4(2)(-4) = 1 + 32 = 33.
x = (-1 ± √33) / 4.

प्रश्न 555. एक मीनार की छाया की लंबाई उसकी ऊँचाई के बराबर है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात करें।

हल:

tan θ = लम्ब/आधार = h/h = 1.
tan θ = 1 ⇒ θ = 45°.

प्रश्न 556. निम्न आँकड़ों का माध्यक ज्ञात करें: 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19.

हल:

n = 7 (विषम)।
माध्यक = (7+1)/2 वाँ पद = 4था पद.
4था पद = 11.
माध्यक = 11.

प्रश्न 557. x का मान ज्ञात करें ताकि बिंदु (x, -1), (2, 1) और (4, 5) संरेखी हों।

हल:

ढाल (Slope) बराबर होनी चाहिए या क्षेत्रफल शून्य।
(1 – (-1)) / (2 – x) = (5 – 1) / (4 – 2)
2 / (2 – x) = 4 / 2 = 2
1 = 2 – x ⇒ x = 1.

प्रश्न 558. 14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड का परिमाप ज्ञात करें यदि कोण 90° हो।

हल:

परिमाप = L + 2r.
L = (90/360)2πr = (1/4)(44)(2) = 22 सेमी (यदि π=22/7 लें और गणना करें)।
सही गणना: (1/4) × 2 × (22/7) × 14 = 22 सेमी।
कुल परिमाप = 22 + 2(14) = 22 + 28 = 50 सेमी।

प्रश्न 559. यदि sin A = cos B, तो सिद्ध करें कि A + B = 90°.

हल:

sin A = sin(90° – B).
तुलना करने पर: A = 90° – B.
A + B = 90°.

प्रश्न 560. सिद्ध करें कि किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। (पाइथागोरस प्रमेय)

हल:

दिया है: ΔABC, ∠B=90°.
रचना: BD ⊥ AC.
उपपत्ति: ΔADB ~ ΔABC और ΔBDC ~ ΔABC का उपयोग करके AB² = AD.AC और BC² = CD.AC प्राप्त करें और जोड़ें।

---

खंड-य: शेष वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 561-580)

प्रश्न 561. 9 tan² A – 9 sec² A बराबर है:

• (A) 9
• (B) -9
• (C) 1
• (D) 0

उत्तर: (B)

हल: 9(tan² A – sec² A) = 9(-1) = -9.

प्रश्न 562. यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, तो वृत्त का व्यास है:

• (A) 2 मात्रक
• (B) 4 मात्रक
• (C) π मात्रक
• (D) 7 मात्रक

उत्तर: (B)

हल: 2πr = πr² ⇒ r = 2. व्यास = 2r = 4.

प्रश्न 563. दो खंभे 13 मी और 7 मी ऊँचे हैं और समतल जमीन पर खड़े हैं। यदि उनके पादों के बीच की दूरी 8 मी है, तो उनके सिरों के बीच की दूरी है:

• (A) 9 मी
• (B) 10 मी
• (C) 11 मी
• (D) 12 मी

उत्तर: (B)

हल: लम्ब अंतर = 13 – 7 = 6. क्षैतिज दूरी = 8. कर्ण = √(6² + 8²) = √100 = 10.

प्रश्न 564. माध्यक का 3 गुना और माध्य का 2 गुना का अंतर कहलाता है:

• (A) माध्य
• (B) माध्यक
• (C) बहुलक
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (C)

प्रश्न 565. एक घड़ी की मिनट वाली सुई द्वारा 1 मिनट में बनाया गया कोण होता है:

• (A) 30°
• (B) 15°
• (C) 12°
• (D) 6°

उत्तर: (D)

हल: 360° / 60 = 6°.

प्रश्न 566. आधार की त्रिज्या r और तिर्यक ऊँचाई l वाले शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

• (A) 2πrl
• (B) πrl
• (C) πr²l
• (D) πr(l+r)

उत्तर: (B)

प्रश्न 567. यदि द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल बराबर हों, तो c का मान है:

• (A) -b/2a
• (B) b/2a
• (C) -b²/4a
• (D) b²/4a

उत्तर: (D)

हल: b² – 4ac = 0 ⇒ b² = 4ac ⇒ c = b²/4a.

प्रश्न 568. बिंदु (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी है:

• (A) 2√2
• (B) 2
• (C) 4
• (D) √8

उत्तर: (A)

प्रश्न 569. यदि P(E) = 0.05 है, तो E नहीं की प्रायिकता है:

• (A) 0.5
• (B) 0.95
• (C) 0.05
• (D) 0.9

उत्तर: (B)

प्रश्न 570. निम्न में से कौन सा परिमेय संख्या है?

• (A) π
• (B) √7
• (C) √16/√25
• (D) 3√3

उत्तर: (C)

हल: 4/5 (परिमेय)।

प्रश्न 571. tan 60° का मान है:

• (A) 1/√3
• (B) √3
• (C) 1
• (D) ∞

उत्तर: (B)

प्रश्न 572. 3, 5, 4, 3, 2, 3, 1, 3 का बहुलक है:

• (A) 1
• (B) 5
• (C) 4
• (D) 3

उत्तर: (D)

प्रश्न 573. एक समबाहु त्रिभुज ABC की एक भुजा 2a है, तो इसकी ऊँचाई होगी:

• (A) 3a
• (B) √3a
• (C) √3a²
• (D) a/√3

उत्तर: (B)

हल: ऊँचाई = (√3/2) × भुजा = (√3/2) × 2a = √3a.

प्रश्न 574. दो वृत्तों के व्यासों का अनुपात 4:9 है, तो वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात होगा:

• (A) 4:9
• (B) 2:3
• (C) 16:81
• (D) 8:18

उत्तर: (C)

हल: व्यास का अनुपात = त्रिज्या का अनुपात। क्षेत्रफल अनुपात = (4/9)² = 16/81.

प्रश्न 575. यदि बहुपद x² + px – q के शून्यक एक-दूसरे के व्युत्क्रम हों, तो q का मान होगा:

• (A) -1
• (B) 1
• (C) p
• (D) -p

उत्तर: (A)

हल: गुणनफल = c/a ⇒ α(1/α) = -q/1 ⇒ 1 = -q ⇒ q = -1.

प्रश्न 576. sin(90° – A) = ?

• (A) sin A
• (B) tan A
• (C) cos A
• (D) sec A

उत्तर: (C)

प्रश्न 577. बिंदु (4, 3) किस पाद में है?

• (A) प्रथम
• (B) द्वितीय
• (C) तृतीय
• (D) चतुर्थ

उत्तर: (A)

प्रश्न 578. निम्न में से कौन द्विघात समीकरण है?

• (A) 4x + 6 = 0
• (B) x² – bx + c = 0
• (C) x(x+3) = x²
• (D) x³ + x = 0

उत्तर: (B)

प्रश्न 579. AP: 12, 17, 22, 27, … का सार्व अंतर है:

• (A) 4
• (B) 5
• (C) -5
• (D) 6

उत्तर: (B)

प्रश्न 580. cosec 45° का मान है:

• (A) 2
• (B) 1/√2
• (C) √2
• (D) 1

उत्तर: (C)

खंड-र: शेष गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 581-600)

प्रश्न 581. सिद्ध करें कि 7 – √5 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 7 – √5 परिमेय संख्या r है।
7 – r = √5.
LHS (7 – r) परिमेय है, RHS (√5) अपरिमेय है।
यह संभव नहीं है। अतः 7 – √5 अपरिमेय है।

प्रश्न 582. वज्रगुणन विधि से हल करें: 8x + 5y = 9 और 3x + 2y = 4.

हल:

8x + 5y – 9 = 0; 3x + 2y – 4 = 0.
x / [5(-4) – 2(-9)] = y / [(-9)(3) – (-4)(8)] = 1 / [8(2) – 3(5)]
x / [-20 + 18] = y / [-27 + 32] = 1 / [16 – 15]
x / -2 = y / 5 = 1 / 1
x = -2, y = 5.

प्रश्न 583. एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसका आधार 12 सेमी और कर्ण 13 सेमी है।

हल:

लम्ब = √(13² – 12²) = √(169 – 144) = √25 = 5 सेमी।
क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × लम्ब
= (1/2) × 12 × 5 = 30 सेमी².

प्रश्न 584. बिंदुओं A(5, 2), B(4, 7) और C(7, -4) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल:

(यह प्रश्न 421 की पुनरावृत्ति है, लेकिन अभ्यास के लिए महत्वपूर्ण।)
क्षेत्रफल = 2 वर्ग इकाई।

प्रश्न 585. सिद्ध करें: (cos A – sin A + 1) / (cos A + sin A – 1) = cosec A + cot A.

हल:

अंश और हर में sin A से भाग देने पर:
(cot A – 1 + cosec A) / (cot A + 1 – cosec A)
= [(cot A + cosec A) – (cosec² A – cot² A)] / (cot A + 1 – cosec A)
= (cot A + cosec A)(1 – cosec A + cot A) / (cot A + 1 – cosec A)
= cot A + cosec A = RHS.

प्रश्न 586. 0 और 100 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात करें।

हल:

विषम संख्याएँ: 1, 3, …, 99.
n = 50.
योग = n² = 50² = 2500.

प्रश्न 587. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। (i) एक अभाज्य संख्या, (ii) 2 और 6 के बीच की संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता।

हल:

(i) अभाज्य (2, 3, 5): 3/6 = 1/2.
(ii) 2 और 6 के बीच (3, 4, 5): 3/6 = 1/2.

प्रश्न 588. 6 सेमी भुजा वाले एक ठोस घन को पिघलाकर 2 सेमी भुजा वाले कितने घन बनाए जा सकते हैं?

हल:

घनों की संख्या = बड़े घन का आयतन / छोटे घन का आयतन
= (6 × 6 × 6) / (2 × 2 × 2)
= 216 / 8 = 27 घन।

प्रश्न 589. निम्न आँकड़ों का माध्यक ज्ञात करें: 15, 6, 16, 8, 22, 21, 9, 18, 25.

हल:

आरोही क्रम: 6, 8, 9, 15, 16, 18, 21, 22, 25.
n = 9.
माध्यक = (9+1)/2 वाँ पद = 5वाँ पद.
5वाँ पद = 16.
माध्यक = 16.

प्रश्न 590. एक रेखाखंड AB = 7 सेमी खींचें और इसे 3:5 के अनुपात में विभाजित करें।

हल:

रचनात्मक प्रश्न: न्यूनकोण रेखा पर 8 (3+5) चाप लगाएँ। 8वें को B से मिलाएँ। 3रे से समांतर रेखा खींचें।

प्रश्न 591. सिद्ध करें कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।

हल:

दिया है: OM ⊥ AB.
ΔOMA और ΔOMB में:
∠OMA = ∠OMB = 90°.
OA = OB (त्रिज्या)।
OM = OM (उभयनिष्ठ)।
RHS सर्वांगसमता से ΔOMA ≅ ΔOMB ⇒ AM = MB.

प्रश्न 592. एक मीनार क्षैतिज समतल पर खड़ी है। सूर्य के उन्नयन कोण 30° से 60° होने पर मीनार की छाया 50 मीटर घट जाती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।

हल:

h = 50 / (cot 30° – cot 60°)
h = 50 / (√3 – 1/√3) = 50 / [(3-1)/√3]
h = 50√3 / 2 = 25√3 मीटर।

प्रश्न 593. एक धातु के पाइप का बाहरी व्यास 4 सेमी और आंतरिक व्यास 2 सेमी है। यदि इसकी लंबाई 14 सेमी हो, तो प्रयुक्त धातु का आयतन ज्ञात करें।

हल:

R = 2, r = 1, h = 14.
V = πh(R² – r²)
= (22/7)(14)(4 – 1)
= 44 × 3 = 132 सेमी³.

प्रश्न 594. पूर्ण वर्ग विधि से हल करें: 2x² – 5x + 3 = 0.

हल:

x² – (5/2)x + 3/2 = 0.
x² – (5/2)x = -3/2.
दोनों ओर (5/4)² जोड़ने पर:
(x – 5/4)² = -3/2 + 25/16 = (-24+25)/16 = 1/16.
x – 5/4 = ±1/4.
x = 6/4 = 3/2 और x = 4/4 = 1.

प्रश्न 595. बिंदु (5, -6) और (-1, -4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को y-अक्ष किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल:

y-अक्ष पर x = 0 होता है.
0 = (m(-1) + n(5)) / (m+n)
-m + 5n = 0 ⇒ m = 5n.
m/n = 5/1.
अनुपात 5:1.

प्रश्न 596. एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी परिधि 44 सेमी है।

हल:

2πr = 44 ⇒ r = 7.
क्षेत्रफल = (1/4)πr² = (1/4)(22/7)(49) = 77/2 = 38.5 सेमी².

प्रश्न 597. सिद्ध करें कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं।

हल:

(महत्वपूर्ण प्रमेय: केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दुगुना होता है, इस गुण का प्रयोग करें।)

प्रश्न 598. यदि 6, 8, 9, x, 13 का माध्य 10 है, तो x का मान ज्ञात करें।

हल:

(36 + x) / 5 = 10 ⇒ 36 + x = 50 ⇒ x = 14.

प्रश्न 599. k के किस मान के लिए निम्न समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है?
3x + y = 1
(2k-1)x + (k-1)y = 2k+1

हल:

3/(2k-1) = 1/(k-1) ≠ 1/(2k+1).
3k – 3 = 2k – 1 ⇒ k = 2.

प्रश्न 600. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का कथन लिखें।

हल:

“दो धनात्मक पूर्णांक a और b दिए रहने पर, ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ q और r विद्यमान हैं कि a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b है।"

---

भाग – 6 समाप्त (प्रश्न 501-600)

बिहार बोर्ड मैट्रिक (कक्षा 10) गणित – पिछले वर्षों के हल प्रश्न पत्र

महत्वपूर्ण प्रश्नों की सीरीज: भाग – 7 (प्रश्न 601-700)

नोट: यह “हस्तलिखित नोट्स” (Handwritten Notes) प्रारूप पर आधारित विस्तृत हल हैं।

खंड-अ: वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 601-615)

प्रश्न 601. sin(90° – θ) बराबर है:

• (A) sin θ
• (B) -sin θ
• (C) cos θ
• (D) -cos θ

उत्तर: (C)

प्रश्न 602. एक सिक्के को उछालने पर चित (Head) आने की प्रायिकता है:

• (A) 1
• (B) 1/2
• (C) 1/3
• (D) 0

उत्तर: (B)

प्रश्न 603. बिंदु (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी है:

• (A) 2√2
• (B) 2
• (C) 3
• (D) 4

उत्तर: (A)

हल: √((4-2)² + (1-3)²) = √(4+4) = 2√2.

प्रश्न 604. यदि द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल समान हों, तो:

• (A) b² = 4ac
• (B) b² > 4ac
• (C) b² < 4ac
• (D) b² + 4ac = 0

उत्तर: (A)

प्रश्न 605. AP: 10, 7, 4, … का 30वाँ पद है:

• (A) 97
• (B) 77
• (C) -77
• (D) -87

उत्तर: (C)

हल: 10 + 29(-3) = 10 – 87 = -77.

प्रश्न 606. दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 4:9 के अनुपात में हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है:

• (A) 2:3
• (B) 4:9
• (C) 81:16
• (D) 16:81

उत्तर: (D)

प्रश्न 607. किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ होती हैं:

• (A) असमान
• (B) समान
• (C) दुगुनी
• (D) आधी

उत्तर: (B)

प्रश्न 608. 1, 3, 0, 3, 1, 3 का बहुलक है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3

उत्तर: (D)

प्रश्न 609. √3 एक:

• (A) परिमेय संख्या है
• (B) अपरिमेय संख्या है
• (C) प्राकृत संख्या है
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (B)

प्रश्न 610. tan 60° का मान है:

• (A) 1/√3
• (B) √3
• (C) 1
• (D) ∞

उत्तर: (B)

प्रश्न 611. यदि बहुपद x² – 2x + 5 के शून्यक α, β हों, तो α + β का मान है:

• (A) 5
• (B) -5
• (C) 2
• (D) -2

उत्तर: (C)

प्रश्न 612. बिंदु (4, -3) किस चतुर्थांश में है?

• (A) प्रथम
• (B) द्वितीय
• (C) तृतीय
• (D) चतुर्थ

उत्तर: (D)

प्रश्न 613. अर्द्धवृत्त का कोण होता है:

• (A) 60°
• (B) 45°
• (C) 90°
• (D) 180°

उत्तर: (C)

प्रश्न 614. द्विघात समीकरण 2x² – 4x + 3 = 0 का विवेचक है:

• (A) -4
• (B) 0
• (C) -8
• (D) 4

उत्तर: (C)

हल: (-4)² – 4(2)(3) = 16 – 24 = -8.

प्रश्न 615. निम्न में से कौन अभाज्य संख्या है?

• (A) 8
• (B) 9
• (C) 11
• (D) 15

उत्तर: (C)

खंड-ब: गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 616-630)

प्रश्न 616. सिद्ध करें कि 5 – √3 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 5 – √3 एक परिमेय संख्या p/q है।
√3 = 5 – p/q.
RHS परिमेय है, लेकिन LHS (√3) अपरिमेय है।
अतः 5 – √3 अपरिमेय है।

प्रश्न 617. हल करें: x + y = 5 और 2x – 3y = 4.

हल:

x = 5 – y.
2(5 – y) – 3y = 4 ⇒ 10 – 2y – 3y = 4.
-5y = -6 ⇒ y = 6/5.
x = 5 – 6/5 = 19/5.
x = 19/5, y = 6/5.

प्रश्न 618. AP: 2, 7, 12, … के 10 पदों का योग ज्ञात करें।

हल:

S₁₀ = (10/2) [2(2) + 9(5)]
= 5 [4 + 45]
= 5 × 49 = 245.

प्रश्न 619. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिंदुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल:

x = (2(4) + 3(-1)) / 5 = 1.
y = (2(-3) + 3(7)) / 5 = 3.
(1, 3).

प्रश्न 620. सिद्ध करें: (1 + tan A)² + (1 – tan A)² = 2 sec² A.

हल:

LHS = 1 + tan² A + 2tan A + 1 + tan² A – 2tan A
= 2 + 2tan² A
= 2(1 + tan² A)
= 2 sec² A.

प्रश्न 621. 14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल:

क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 14 × 14
= 22 × 2 × 14 = 616 सेमी².

प्रश्न 622. सिद्ध करें कि वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।

हल:

त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण 90° होता है।
व्यास के दोनों सिरों पर ये कोण एकांतर अंतःकोण बनाते हैं।
अतः स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।

प्रश्न 623. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता ज्ञात करें।

हल:

P(लाल) = 3 / (3+5) = 3/8.

प्रश्न 624. द्विघात समीकरण 2x² – 5x + 3 = 0 के मूल ज्ञात करें।

हल:

2x² – 2x – 3x + 3 = 0
2x(x – 1) – 3(x – 1) = 0
x = 1, 3/2.

प्रश्न 625. एक मीनार के पाद से 15 मी दूर स्थित बिंदु से शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।

हल:

h/15 = tan 60° = √3.
h = 15√3 मीटर।

प्रश्न 626. निम्न आँकड़ों का माध्य ज्ञात करें: 5, 10, 15, 20, 25; बारंबारता: 2, 3, 5, 3, 2.

हल:

Σf = 15.
Σfx = 10 + 30 + 75 + 60 + 50 = 225.
माध्य = 225 / 15 = 15.

प्रश्न 627. x अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात करें जो (2, -5) और (-2, 9) से समदूरस्थ है।

हल:

(x-2)² + 25 = (x+2)² + 81.
-4x + 29 = 4x + 85.
-8x = 56 ⇒ x = -7.
(-7, 0).

प्रश्न 628. एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी परिधि 22 सेमी है।

हल:

2πr = 22 ⇒ r = 3.5.
क्षेत्रफल = (1/4)(22/7)(3.5)(3.5) = 9.625 सेमी².

प्रश्न 629. यदि tan(A+B) = √3 और tan(A-B) = 1/√3, तो A और B ज्ञात करें।

हल:

A+B = 60, A-B = 30.
2A = 90 ⇒ A = 45.
B = 15.

प्रश्न 630. सिद्ध करें कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।

हल:

त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है। अतः लम्बवत रेखा त्रिज्या ही है जो केंद्र से आती है।

---

खंड-स: अतिरिक्त वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 631-645)

प्रश्न 631. 1/√2 किस प्रकार की संख्या है?

• (A) प्राकृत संख्या
• (B) परिमेय संख्या
• (C) अपरिमेय संख्या
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (C)

प्रश्न 632. sec² θ – 1 का मान है:

• (A) cosec² θ
• (B) sin² θ
• (C) tan² θ
• (D) cot² θ

उत्तर: (C)

प्रश्न 633. sin 45° का मान होता है:

• (A) 1/√2
• (B) √3/2
• (C) 1
• (D) 1/2

उत्तर: (A)

प्रश्न 634. प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल है:

• (A) n(n+1)
• (B) n(n+1)/2
• (C) n²
• (D) n(n-1)/2

उत्तर: (B)

प्रश्न 635. किसी घटना की प्रायिकता P(E) के लिए निम्न में से कौन सही है?

• (A) P(E) > 1
• (B) P(E) < 0
• (C) 0 ≤ P(E) ≤ 1
• (D) P(E) = -1

उत्तर: (C)

प्रश्न 636. द्विघात समीकरण का घात होता है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3

उत्तर: (C)

प्रश्न 637. यदि tan θ = √3, तो θ का मान है:

• (A) 30°
• (B) 45°
• (C) 60°
• (D) 90°

उत्तर: (C)

प्रश्न 638. मूल बिंदु के निर्देशांक होते हैं:

• (A) (1, 1)
• (B) (x, y)
• (C) (0, 0)
• (D) (0, 1)

उत्तर: (C)

प्रश्न 639. गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है:

• (A) (4/3)πr³
• (B) 4πr²
• (C) 2πr²
• (D) πr²

उत्तर: (B)

प्रश्न 640. वर्ग अंतराल 10-20 का वर्ग चिह्न है:

• (A) 10
• (B) 20
• (C) 30
• (D) 15

उत्तर: (D)

हल: (10 + 20) / 2 = 15.

प्रश्न 641. sin² A + cos² A बराबर है:

• (A) 1
• (B) 0
• (C) 2
• (D) -1

उत्तर: (A)

प्रश्न 642. x² – k = 0 के मूल हैं:

• (A) k, k
• (B) -√k, √k
• (C) k, -k
• (D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (B)

प्रश्न 643. बिंदु (x, y) की मूल बिंदु से दूरी है:

• (A) x² – y²
• (B) √(x² + y²)
• (C) √(x² – y²)
• (D) x + y

उत्तर: (B)

प्रश्न 644. दो अभाज्य संख्याओं का म.स. (HCF) होता है:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) उनका गुणनफल

उत्तर: (B)

प्रश्न 645. cos 48° – sin 42° का मान है:

• (A) 1
• (B) 0
• (C) 2
• (D) -1

उत्तर: (B)

हल: cos 48° = sin 42°, अतः मान 0 होगा।

खंड-द: अतिरिक्त गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 646-660)

प्रश्न 646. सिद्ध करें कि 5 – 2√3 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 5 – 2√3 एक परिमेय संख्या r है।
5 – r = 2√3.
√3 = (5 – r) / 2.
RHS परिमेय है, LHS अपरिमेय है। विरोधाभास।
अतः 5 – 2√3 अपरिमेय है।

प्रश्न 647. हल करें: x – y = 3 और x/3 + y/2 = 6.

हल:

x – y = 3 ⇒ x = y + 3.
2x + 3y = 36.
2(y + 3) + 3y = 36.
2y + 6 + 3y = 36.
5y = 30 ⇒ y = 6.
x = 6 + 3 = 9.
x = 9, y = 6.

प्रश्न 648. सिद्ध करें: (cosec A – cot A)² = (1 – cos A) / (1 + cos A).

हल:

LHS = (1/sin A – cos A/sin A)²
= (1 – cos A)² / sin² A
= (1 – cos A)² / (1 – cos² A)
= (1 – cos A)(1 – cos A) / (1 – cos A)(1 + cos A)
= (1 – cos A) / (1 + cos A) = RHS.

प्रश्न 649. उस AP का 31वाँ पद ज्ञात करें जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

हल:

a + 10d = 38.
a + 15d = 73.
घटाने पर: 5d = 35 ⇒ d = 7.
a = 38 – 70 = -32.
a₃₁ = -32 + 30(7) = 178.

प्रश्न 650. बिंदुओं (-4, 6) और बिंदुओं (-6, 10) और (3, -8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को y-अक्ष किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल:

(प्रश्न संख्या 595 की तरह)
माना अनुपात k:1 है। y-अक्ष पर x=0.
0 = (3k – 6) / (k+1) ⇒ 3k = 6 ⇒ k = 2.
अनुपात 2:1 है।

प्रश्न 651. एक शंकु के छिन्नक की ऊँचाई 4 सेमी है और वृत्तीय सिरों की त्रिज्याएँ 33 सेमी और 27 सेमी हैं। इसकी तिर्यक ऊँचाई ज्ञात करें। (नोट: संख्याएँ बड़ी हैं, गणना सावधानी से करें)

हल:

l = √[h² + (R – r)²]
= √[4² + (33 – 27)²]
= √[16 + 6²] = √[16 + 36] = √52 = 2√13 सेमी।

प्रश्न 652. सिद्ध करें कि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।

हल:

त्रिभुज OPA और OPB (जहाँ P बाह्य बिंदु और A, B स्पर्श बिंदु हैं) में:
∠OAP = ∠OBP = 90°.
OP = OP (उभयनिष्ठ).
OA = OB (त्रिज्याएँ).
RHS सर्वांगसमता से, PA = PB.

प्रश्न 653. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। एक अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करें।

हल:

अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5.
P = 3/6 = 1/2.

प्रश्न 654. द्विघात समीकरण 2x² – 7x + 3 = 0 का विवेचक ज्ञात करें।

हल:

D = b² – 4ac
= (-7)² – 4(2)(3)
= 49 – 24 = 25.

प्रश्न 655. 1.5 मीटर लंबा एक प्रेक्षक एक चिमनी से 28.5 मीटर की दूरी पर है। उसकी आँखों से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। चिमनी की ऊँचाई बताइए।

हल:

tan 45° = (h – 1.5) / 28.5
1 = (h – 1.5) / 28.5
h – 1.5 = 28.5
h = 30 मीटर।

प्रश्न 656. निम्न आँकड़ों का माध्यक ज्ञात करें: 20, 29, 28, 33, 42, 38, 43, 25.

हल:

आरोही क्रम: 20, 25, 28, 29, 33, 38, 42, 43.
n = 8.
माध्यक = (4वाँ पद + 5वाँ पद) / 2
= (29 + 33) / 2 = 62 / 2 = 31.

प्रश्न 657. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके शीर्ष (2, 3), (-1, 0) और (2, -4) हैं।

हल:

क्षेत्रफल = 1/2 |2(0 – (-4)) + (-1)(-4 – 3) + 2(3 – 0)|
= 1/2 |8 + 7 + 6| = 10.5 वर्ग इकाई।

प्रश्न 658. 21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के उस चाप की लंबाई ज्ञात करें जो केंद्र पर 60° का कोण बनाता है।

हल:

L = (60/360) × 2 × (22/7) × 21
= (1/6) × 44 × 3
= 22 सेमी।

प्रश्न 659. यदि sec 4A = cosec(A – 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात करें।

हल:

sec 4A = cosec(90 – 4A).
90 – 4A = A – 20.
110 = 5A ⇒ A = 22°.

प्रश्न 660. सिद्ध करें कि बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।

हल:

(यह प्रमेय बार-बार आता है। अभ्यास के लिए आवश्यक है।)

---

खंड-य: शेष वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 661-680)

प्रश्न 661. cot 60° का मान है:

• (A) √3
• (B) 1/√3
• (C) 1
• (D) 0

उत्तर: (B)

प्रश्न 662. बिंदु P(x, y) की मूल बिंदु से दूरी है:

• (A) √(x² – y²)
• (B) √(x² + y²)
• (C) x + y
• (D) x² + y²

उत्तर: (B)

प्रश्न 663. sin² A + cos² A = ?

• (A) 0
• (B) 1
• (C) -1
• (D) 2

उत्तर: (B)

प्रश्न 664. एक असंभव घटना की प्रायिकता होती है:

• (A) 1
• (B) 0
• (C) 1/2
• (D) -1

उत्तर: (B)

प्रश्न 665. AP: 2, 5, 8, … का सार्व अंतर है:

• (A) 2
• (B) 3
• (C) 5
• (D) 4

उत्तर: (B)

हल: 5 – 2 = 3.

प्रश्न 666. द्विघात बहुपद की घात होती है:

• (A) 1
• (B) 2
• (C) 0
• (D) 3

उत्तर: (B)

प्रश्न 667. मूल बिंदु के निर्देशांक हैं:

• (A) (1, 1)
• (B) (0, 0)
• (C) (0, 1)
• (D) (1, 0)

उत्तर: (B)

प्रश्न 668. cos 48° – sin 42° का मान है:

• (A) 1
• (B) 0
• (C) 2
• (D) -1

उत्तर: (B)

हल: cos 48 = sin 42, अतः अंतर 0 है।

प्रश्न 669. दो अभाज्य संख्याओं का HCF होता है:

• (A) 1
• (B) 2
• (C) 0
• (D) गुणनफल

उत्तर: (A)

प्रश्न 670. शंकु के आयतन का सूत्र है:

• (A) πr²h
• (B) (1/3)πr²h
• (C) 2πrh
• (D) πrl

उत्तर: (B)

प्रश्न 671. 3, 4, 7, 2, 7, 6, 7 का बहुलक है:

• (A) 2
• (B) 3
• (C) 7
• (D) 6

उत्तर: (C)

प्रश्न 672. sin 30° का मान है:

• (A) 1/2
• (B) √3/2
• (C) 1/√2
• (D) 1

उत्तर: (A)

प्रश्न 673. वृत्त की त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण होता है:

• (A) 45°
• (B) 60°
• (C) 90°
• (D) 180°

उत्तर: (C)

प्रश्न 674. बिंदु (-2, -5) किस चतुर्थांश में है?

• (A) प्रथम
• (B) द्वितीय
• (C) तृतीय
• (D) चतुर्थ

उत्तर: (C)

प्रश्न 675. निम्न में से कौन परिमेय संख्या है?

• (A) √2
• (B) √3
• (C) √4
• (D) √5

उत्तर: (C)

हल: √4 = 2.

प्रश्न 676. बहुपद x² – 4x + 3 के मूलों का योग है:

• (A) 4
• (B) -4
• (C) 3
• (D) -3

उत्तर: (A)

हल: -(-4)/1 = 4.

प्रश्न 677. sec A बराबर है:

• (A) 1/cos A
• (B) 1/sin A
• (C) 1/tan A
• (D) 1/cot A

उत्तर: (A)

प्रश्न 678. वृत्त की परिधि का सूत्र है:

• (A) πr²
• (B) 2πr
• (C) πd²/4
• (D) 4πr

उत्तर: (B)

प्रश्न 679. किसी प्रायिकता का अधिकतम मान होता है:

• (A) 0
• (B) 0.5
• (C) 1
• (D) ∞

उत्तर: (C)

प्रश्न 680. बिंदु (2, 4) और (6, 8) के मध्य बिंदु के निर्देशांक हैं:

• (A) (4, 6)
• (B) (3, 5)
• (C) (8, 12)
• (D) (2, 2)

उत्तर: (A)

हल: (2+6)/2, (4+8)/2 = (4, 6).

खंड-र: शेष गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 681-700)

प्रश्न 681. सिद्ध करें कि 3√2 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

माना 3√2 = p/q (परिमेय).
√2 = p/3q.
LHS अपरिमेय, RHS परिमेय. विरोधाभास.
अतः 3√2 अपरिमेय है।

प्रश्न 682. हल करें: x + y = 14, x – y = 4.

हल:

जोड़ने पर 2x = 18 ⇒ x = 9.
y = 14 – 9 = 5.
x = 9, y = 5.

प्रश्न 683. मान निकालें: sin 18° / cos 72°.

हल:

sin 18° = cos(90-18) = cos 72°.
cos 72° / cos 72° = 1.

प्रश्न 684. 12, 15 और 21 का HCF और LCM ज्ञात करें।

हल:

HCF = 3.
LCM = 420.

प्रश्न 685. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें जिसके शीर्ष (2, 3), (-1, 0), (2, -4) हैं।

हल:

क्षेत्रफल = 10.5 वर्ग इकाई। (यह प्रश्न बार-बार अभ्यास के लिए दिया गया है)।

प्रश्न 686. सिद्ध करें: (1 – sin A)/(1 + sin A) = (sec A – tan A)².

हल:

RHS = (1/cos – sin/cos)²
= (1 – sin A)² / cos² A
= (1 – sin A)² / (1 – sin² A)
= (1 – sin A)(1 – sin A) / (1 – sin A)(1 + sin A)
= (1 – sin A) / (1 + sin A) = LHS.

प्रश्न 687. ताश की गड्डी से इक्का निकालने की प्रायिकता।

हल:

4/52 = 1/13.

प्रश्न 688. 6 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन ज्ञात करें।

हल:

V = (4/3)πr³ = (4/3)(22/7)(216)
= 288 × 22 / 7 = 905.14 सेमी³.

प्रश्न 689. 1, 2, 3, 4, 5 का माध्य ज्ञात करें।

हल:

योग = 15. माध्य = 15/5 = 3.

प्रश्न 690. 4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज की रचना करें।

हल:

(रचनात्मक प्रश्न: पटरी और प्रकार की सहायता से बनाएँ)।

प्रश्न 691. एक मीनार की छाया उसकी ऊँचाई की 1/√3 गुनी नहीं, बल्कि ऊँचाई छाया की √3 गुनी है। कोण बताएँ।

हल:

tan θ = h / (h/√3) = √3.
θ = 60°.

प्रश्न 692. x² – 3x – 10 = 0 के मूल ज्ञात करें।

हल:

(x-5)(x+2)=0 ⇒ x = 5, -2.

प्रश्न 693. छिन्नक का आयतन सूत्र लिखें।

हल:

V = (1/3)πh (R² + r² + Rr).

प्रश्न 694. संरेखी होने की शर्त लिखें।

हल:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0 या x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂) = 0.

प्रश्न 695. वृत्त के लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल सूत्र।

हल:

(θ/360)πr² – (1/2)r² sin θ.

प्रश्न 696. थेल्स प्रमेय का कथन।

हल:

“यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर कोई रेखा खींची जाए, तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।”

प्रश्न 697. बिंदु (4, -3) और (8, 5) को 3:1 में बाँटने वाला बिंदु।

हल:

(7, 3).

प्रश्न 698. प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग।

हल:

S = n(n+1)/2.

प्रश्न 699. दो पासों पर योग 7 आने की प्रायिकता।

हल:

अनुकूल परिणाम: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) = 6.
P = 6/36 = 1/6.

प्रश्न 700. सिद्ध करें कि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।

हल:

दिया है: वृत्त C(O, r) और बाह्य बिंदु P.
सिद्ध करना है: PA = PB.
रचना: OA, OB, OP को मिलाया।
उपपत्ति: ΔOAP और ΔOBP में,
∠A = ∠B = 90°.
OA = OB (त्रिज्या).
OP = OP (उभयनिष्ठ).
RHS से ΔOAP ≅ ΔOBP.
CPCT से PA = PB. (इति सिद्धम्)

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।। 700 प्रश्नों की सीरीज समाप्त (Part 1-7 Completed) ।।

शुभकामनाएं!